Decouper un rectangle dont l'aire est la plus grande


  • R

    Bonjour ! Alors voila je peche depuis 2h sur ce problème que je n'arrive même pas à commencer .. toute tentative échou 😕 , alors j'aimerais beaucoup votre avis !

    problème:
    avec l'espoir d'obtenir un rectangle de plus grande aire , on essaie le rectangle MNPQ de la figure ci contre. On pose x=BM , AB=AC=20cm , A=90°
    a) expliquer pourquoi QM=X et MN=20√ 2-2X
    b) Exprimer l'aire a '(x) de MNPQ ( 2em degrès )
    c) Montrer que a'(x)=-2(X-5√ 2)² + 100
    En déduire pour quelle valeur de X l'aire est maximale , et quelle est sa valeur maximale.

    Merci ! 😄 Voici le schema correspondant à l'énoncé


  • I

    Bonjour Racine,

    Ne manque-t-il pas une info sur le triangle ABC ? nature et dimension ?


  • R

    Effectivement excuse moi 😊 ! AB=AC=20 cm
    A=90°


  • I

    Ok,

    Citation
    a) expliquer pourquoi QM=X
    Si tu travailles dans le triangle BQM ...
    alors
    ^BMQ = ... ?
    Le triangle ABC est isocèle rectangle en A, donc
    ^QBM = ... ?
    tu en déduis ^BQM = ... et la nature du triangle BQM, ce qui devrait répondre à la question.

    Le triangle


  • I

    Citation
    a) ... et MN=20√ 2-2X

    Que peux-tu dire de MC par rapport à BM et donc à x ?

    Calcule la longueur BC en utilisant Pythagore dans ABC rect en A.

    Déduis en l'expression recherchée.


  • R

    pour expliquer pourquoi QM=X :
    si je comprend bien , dans le triangle BQM , ^BMQ= 90° . comme le triangle est isocèle et rectangle en A soit Â=90° , alors ^BMQ=45° et ^BQM= 45°
    C'est ca ? ensuite je dis que le triangle QBM est isocel donc BM=QM=X non ?

    Ensuite pour MN=20√2-2x
    BM*2=MC non ? donc 2X=MC


  • R

    par contre je ne comprend pas trop comment faire pour expliquer pourquoi MN=20√2-2X
    😕


  • R

    ni d'ailleur exprimer l'air de a'(x) de MNPQ , ce sont des choses que nous n'avons pas vu en cours , en tout cas jamais fait ... Mon prof nous donnent des exercices pour que lon trouve par nous meme !


  • I

    Citation
    pour expliquer pourquoi QM=X :
    si je comprend bien , dans le triangle BQM , ^BMQ= 90° . comme le triangle est isocèle et rectangle en A soit Â=90° , alors ^BMQ=45° et ^BQM= 45°
    C'est ca ? ensuite je dis que le triangle QBM est isocel donc BM=QM=X non ?
    Oui


  • I

    Citation
    Ensuite pour MN=20√2-2x
    BM*2=MC non ? donc 2X=MC
    Non

    . D'abord, montre que NC = x en utilisant le fait que MQPN est un rectangle donc PN = QM = ... et en déduisant les angles^NCP et ^^NPC et la nature du triangle PCN (justification du même genre que la question précédente)

    . Ensuite, le th de Pythagore te donne dans le triangle ABC rect en A :

    BC² = AB² + AC²
    tu connais AB = AC = 20 cm
    tu calcules BC (en
    valeur exacte!)

    Or BC = BM + MN + NC

    soit MN = BC - BM - NC = ... en remplaçant BC par la valeur exacte trouvée et BM = NC = x

    à toi


  • I

    Citation
    b) Exprimer l'aire a '(x) de MNPQ ( 2em degrès )

    L'aire d'un rectangle = Longueur × largeur

    donc a'(x) = QM × MN = ... en remplaçant QM et MN par leur expression en fonction de x.


  • I

    Citation
    c) Montrer que a'(x)=-2(X-5√ 2)² + 100

    Calcule -2(x-5√ 2)² + 100 = ...
    en utilisant l'identité remarquable (a-b)² = ...

    tu devrais retomber sur l'expression du 2ème degré trouvée question b)


  • R

    ah oui je comprend mieux ! J'arrive au bon résultat 😄
    et donc ensuite pour exprimer l'air de mnpq , je fais donc Ll soit MNMQ soit X*(20√2-2x) . mais quand on dit exprimer l'air , il ne faut pas la calculer , juste donner sa formule , Non ? 😕


  • I

    a'(x) = QM × MN = x * [20√2 - 2X]

    tu développes et réduis ce calcul. Tu dois obtenir une expression du type " ax² + bx "


  • R

    je trouve :
    (x20√2 - X2X)
    soit 28,28X-2X²

    en revanche , je suis en train de reflechir sur la partie C depuis pas mal de temps , mais je narrive pas a trouver dou vien le " +100" de -2(x-5√2)²+100
    pour la question 3 , il faut que je mette -2(X-5√2)²+100 sous forme canonique non ?


  • I

    a'(x) = -2x² + 20√2

    PS : L'aire s'écrit avec un 'e', elle ne se respire pas celle-là !

    c) Calcule -2(x-5√ 2)² + 100 = ...
    en utilisant l'identité remarquable (a-b)² = ...

    Tu va retomber sur -2x² + 20√2 d'où a'(x) = -2x² + 20√2
    tout simplement OK ? Ne te pose pas de question sur le 100.

    Citation
    pour la question 3 , il faut que je mette -2(X-5√2)²+100 sous forme canonique non ?
    non ... -2(x-5√ 2)² + 100 est justement la forme canonique de -2x² + 20√2
    En seconde, vous ne savez pas encore trouver la forme canonique d'un polynôme du second degré, alors l'énoncé vous la donne sur un plateau.

    Citation
    En déduire pour quelle valeur de X l'aire est maximale , et quelle est sa valeur maximale.
    pour cette dernière question, utilise :
    a'(x) = -2(x-5√ 2)² + 100

    (x-5√ 2)² est un carré, donc toujours ...

    Quelle valeur devra prendre (x-5√ 2) pour que -2(x-5√ 2)² + 100 soit minimale ?

    et cette condition sera réalisée pour quelle valeur de x (en valeur exacte toujours)


  • R

    le minimum est 1°00 et pour que -2(X-5√2)² soit minimal , il faudra que X=5√2 , non ?


  • R

    100 *


  • I

    Oui et non

    l'aire [-2(x-5√ 2)² + 100] sera maximale lorsque (x-5√2) sera nul, soit pour x = 5√2 cm

    Pour cette valeur de x, l'aire maxi sera a'(x) = 100 cm²

    n'oublie pas les unités !

    à la prochaine et bonne continuation ...


  • R

    Merci beaucoup pour l'aide , ca ma été bien utile ! 😁 a la prochaine !


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