Decouper un rectangle dont l'aire est la plus grande

Bonjour ! Alors voila je peche depuis 2h sur ce problème que je n'arrive même pas à commencer .. toute tentative échou , alors j'aimerais beaucoup votre avis !

problème:
avec l'espoir d'obtenir un rectangle de plus grande aire , on essaie le rectangle MNPQ de la figure ci contre. On pose x=BM , AB=AC=20cm , A=90°
a) expliquer pourquoi QM=X et MN=20√ 2-2X
b) Exprimer l'aire a '(x) de MNPQ ( 2em degrès )
c) Montrer que a'(x)=-2(X-5√ 2)² + 100
En déduire pour quelle valeur de X l'aire est maximale , et quelle est sa valeur maximale.

Merci ! Voici le schema correspondant à l'énoncé

Bonjour Racine,

Ne manque-t-il pas une info sur le triangle ABC ? nature et dimension ?

Effectivement excuse moi ! AB=AC=20 cm
A=90°

Ok,

Citation
a) expliquer pourquoi QM=X
Si tu travailles dans le triangle BQM ...
alors
^BMQ = ... ?
Le triangle ABC est isocèle rectangle en A, donc
^QBM = ... ?
tu en déduis ^BQM = ... et la nature du triangle BQM, ce qui devrait répondre à la question.

Le triangle

Citation
a) ... et MN=20√ 2-2X

Que peux-tu dire de MC par rapport à BM et donc à x ?

Calcule la longueur BC en utilisant Pythagore dans ABC rect en A.

Déduis en l'expression recherchée.

pour expliquer pourquoi QM=X :
si je comprend bien , dans le triangle BQM , ^BMQ= 90° . comme le triangle est isocèle et rectangle en A soit Â=90° , alors ^BMQ=45° et ^BQM= 45°
C'est ca ? ensuite je dis que le triangle QBM est isocel donc BM=QM=X non ?

Ensuite pour MN=20√2-2x
BM*2=MC non ? donc 2X=MC

par contre je ne comprend pas trop comment faire pour expliquer pourquoi MN=20√2-2X

ni d'ailleur exprimer l'air de a'(x) de MNPQ , ce sont des choses que nous n'avons pas vu en cours , en tout cas jamais fait ... Mon prof nous donnent des exercices pour que lon trouve par nous meme !

Citation
pour expliquer pourquoi QM=X :
si je comprend bien , dans le triangle BQM , ^BMQ= 90° . comme le triangle est isocèle et rectangle en A soit Â=90° , alors ^BMQ=45° et ^BQM= 45°
C'est ca ? ensuite je dis que le triangle QBM est isocel donc BM=QM=X non ?
Oui

Citation
Ensuite pour MN=20√2-2x
BM*2=MC non ? donc 2X=MC
Non

. D'abord, montre que NC = x en utilisant le fait que MQPN est un rectangle donc PN = QM = ... et en déduisant les angles^NCP et ^^NPC et la nature du triangle PCN (justification du même genre que la question précédente)

. Ensuite, le th de Pythagore te donne dans le triangle ABC rect en A :

BC² = AB² + AC²
tu connais AB = AC = 20 cm
tu calcules BC (en
valeur exacte!)

Or BC = BM + MN + NC

soit MN = BC - BM - NC = ... en remplaçant BC par la valeur exacte trouvée et BM = NC = x

à toi

Citation
b) Exprimer l'aire a '(x) de MNPQ ( 2em degrès )

L'aire d'un rectangle = Longueur × largeur

donc a'(x) = QM × MN = ... en remplaçant QM et MN par leur expression en fonction de x.

Citation
c) Montrer que a'(x)=-2(X-5√ 2)² + 100

Calcule -2(x-5√ 2)² + 100 = ...
en utilisant l'identité remarquable (a-b)² = ...

tu devrais retomber sur l'expression du 2ème degré trouvée question b)

ah oui je comprend mieux ! J'arrive au bon résultat
et donc ensuite pour exprimer l'air de mnpq , je fais donc Ll soit MNMQ soit X*(20√2-2x) . mais quand on dit exprimer l'air , il ne faut pas la calculer , juste donner sa formule , Non ?

a'(x) = QM × MN = x * [20√2 - 2X]

tu développes et réduis ce calcul. Tu dois obtenir une expression du type " ax² + bx "

je trouve :
(x20√2 - X2X)
soit 28,28X-2X²

en revanche , je suis en train de reflechir sur la partie C depuis pas mal de temps , mais je narrive pas a trouver dou vien le " +100" de -2(x-5√2)²+100
pour la question 3 , il faut que je mette -2(X-5√2)²+100 sous forme canonique non ?

a'(x) = -2x² + 20√2

PS : L'aire s'écrit avec un 'e', elle ne se respire pas celle-là !

c) Calcule -2(x-5√ 2)² + 100 = ...
en utilisant l'identité remarquable (a-b)² = ...

Tu va retomber sur -2x² + 20√2 d'où a'(x) = -2x² + 20√2
tout simplement OK ? Ne te pose pas de question sur le 100.

Citation
pour la question 3 , il faut que je mette -2(X-5√2)²+100 sous forme canonique non ?
non ... -2(x-5√ 2)² + 100 est justement la forme canonique de -2x² + 20√2
En seconde, vous ne savez pas encore trouver la forme canonique d'un polynôme du second degré, alors l'énoncé vous la donne sur un plateau.

Citation
En déduire pour quelle valeur de X l'aire est maximale , et quelle est sa valeur maximale.
pour cette dernière question, utilise :
a'(x) = -2(x-5√ 2)² + 100

(x-5√ 2)² est un carré, donc toujours ...

Quelle valeur devra prendre (x-5√ 2) pour que -2(x-5√ 2)² + 100 soit minimale ?

et cette condition sera réalisée pour quelle valeur de x (en valeur exacte toujours)

le minimum est 1°00 et pour que -2(X-5√2)² soit minimal , il faudra que X=5√2 , non ?

100 *

Oui et non

l'aire [-2(x-5√ 2)² + 100] sera maximale lorsque (x-5√2) sera nul, soit pour x = 5√2 cm

Pour cette valeur de x, l'aire maxi sera a'(x) = 100 cm²

n'oublie pas les unités !

à la prochaine et bonne continuation ...

Merci beaucoup pour l'aide , ca ma été bien utile ! a la prochaine !