Trouver deux nombres à sommes des carrés et produit fixés.

[sirius141]

Bonjour,
j'ai la quarantaine passée et je fais actuellement une petite remise à niveau en math. pour le besoin d'une formation. Bien que mes résultats soient plutôt bon, j'ai un peu de mal, parfois à me remettre dans le bain.
Je travaille en ce moment sur les développements et factorisations et cela ne me semble pas trop compliqué, je retrouve assez bien mes marques. Je suis toutefois complètement bloqué par un problème qui a déjà été traité dans ce forums, mais sous une forme un peu différente de mon énoncé et que j'ai consulté. Malgré tout, en retournant le problème dans tous les sens je n'ai pas réussit à comprendre la marche à suivre. Quelqu'un pourrait-il m'éclairer ?
Voici en gros le problème auquel je suis confronté :

On demande de trouver deux nombres positifs x et y tels que pour les solutions (S),

on sait que : x - y > 0 ; x² + y² = 12,68 et xy = 6,16

On demande : 1) de développer les identités remarquables (x+y)² et (x-y)² en utilisant les données de (S), pour en déduire leurs valeurs numériques.

2. de vérifier les égalités algébriques (x + y) + (x - y) = 2x et
   (x + y) - (x - y) = 2x pour en déduire les valeurs de x et de y.

J'ai essayer d'appliquer la méthode de Zauctore, mais rien à faire, car dans mon problème, la somme est une somme des carrés de x et y.
Je pense qu'il doit y avoir une astuce à laquelle je n'ai pas pensé pour adapter la méthode de Zauctore dans ce cas précis, mais je ne l'ai pas trouvée.
Bien au delà de vouloir obtenir un résultat parfait à ce devoir, je suis surtout curieux et j'aime comprendre comment ça marche.
Je remercie par avance les bonnes âmes qui sauront me faire avancer.

sirius141

[Jeet-chris]

Salut.

Je ne sais pas quelle est la méthode de Zauctore (je suppose celle du trinôme avec le couple de solutions dont on connait la somme et le produit), mais ce n'est pas bien compliqué.

2. La 2e égalité est fausse (copié-collé qui laisse le 2x au lieu de 2y ?).

Pourquoi ne pas simplement passer à la racine carré ?

De (x+y)² = a on trouve x + y = ±√(a).
Puis (x-y)² = b fournit x - y = √(b) vu que x - y > 0.

On peut donc injecter ces égalités dans tes 2 équations :

x + y = ±√(a)
x - y = √(b)

Ce qui nous fournit a priori deux couples de solutions. Puis sachant que x et y sont positifs, on en élimine un et c'est terminé.

@+