Soucis avec une suite
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Ssmile-power dernière édition par
Bonjour à tous et toutes ! :razz:
J'ai un petit exo sur les suite mais qui me pose des soucis :
Démontrer que, pour tout entier n supérieur ou égal à 4 : 2n2^n2n≥n²
Puis en déduire la limite quand n tend vers +∞ de 2n2^n2n/nVoilà, donc mon prof m'a proposé de le résoudre avec les suites récurrentes mais jen'ai pas très bien compris le principe
Merci d'avance
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Bonjour
i. commence déjà par l'initialisation, à savoir démontrer que la propriété proposée est vraie pour de petites valeurs de n, par exemple pour n=4 ici puisque c'est demandé.
ii. ensuite, attaque-toi à l'hérédité: supposant que la propriété est vraie au rang k, c'est-à-dire que l'on a 2k≥k2\small 2^k \geq k^22k≥k2 , démontre qu'alors elle est vraie au rang k+1.
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Ssmile-power dernière édition par
Je te remercie beaucoups, donc d'après ce que je viens de comprendre, ma réponse devrait ressembler à quelque chose du genre :
si on a uuu_n=2n=2^n=2n,
et vnv_nvn= n²alors u1u_1u1=2 et v1v_1v1=1
u2u_2u2=4 v2v_2v2=4
u3u_3u3=8 v3v_3v3=9
u4u_4u4=16 v4v_4v4=16
u5u_5u5=32 v5v_5v5=25
donc on a bien u4u_4u4≥v4v_4v4
2-/ et là j'ai un soucis : ça me parait tellement évident que je ne sais pas l'expliquer
Je ne pense pas que seulement en disant que la puissance k+1^{k+1}k+1 sera toujours au moins aussi grande qu'un carré suffise.
Je ne sais pas si tu arrives à me suivre, moi-même j'm'y perds un peu !
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Ton objectif est d'établir que
2k+1≥(k+1)2,2^{k+1} \geq (k+1)^2,2k+1≥(k+1)2,
en t'appuyant sur le fait que
2k≥k22^{k} \geq k^22k≥k2
(chose que l'on suppose vraie : c'est l'hypothèse de récurrence).
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Ssmile-power dernière édition par
Donc en quelques sortes j'applique les théorèmes de rangement ?
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(Je sais que ma réponse arrive trop tard)
En quelque sorte : on a 2k+1≥2k2^{k+1} \geq 2^k2k+1≥2k c'est sûr.
Mais pas seulement, puisqu' on a aussi (k+1)2≥k2(k+1)^2 \geq k^2(k+1)2≥k2.
Maintenant la difficulté consiste à justifier pour quoi 2k+12^{k+1}2k+1 est plus grand que (k+1)2(k+1)^2(k+1)2, sachant que 2k2^{k}2k est plus grand que k2k^2k2.
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Ssmile-power dernière édition par
Merci beaucoups, c'est bon j'ai réussi à m'en sortir ave un raisonnement en 3 temps :
si 2 (n+1)^{(n+1)}(n+1) ≥2n²
et 2n² ≥(n+1)²
alors 2(n+1)2^{(n+1)}2(n+1)≥ (n+1)²
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Re.
Ce sont bien les étapes, mais :
- la première ligne n'est pas une supposition.
- la 2e ligne est à prouver.