Soucis avec une suite

Bonjour à tous et toutes ! :razz:
J'ai un petit exo sur les suite mais qui me pose des soucis :
Démontrer que, pour tout entier n supérieur ou égal à 4 : $2^n$ ≥n²
Puis en déduire la limite quand n tend vers +∞ de $2^n$ /n

Voilà, donc mon prof m'a proposé de le résoudre avec les suites récurrentes mais jen'ai pas très bien compris le principe

Merci d'avance

Bonjour

i. commence déjà par l'initialisation, à savoir démontrer que la propriété proposée est vraie pour de petites valeurs de n, par exemple pour n=4 ici puisque c'est demandé.

ii. ensuite, attaque-toi à l'hérédité: supposant que la propriété est vraie au rang k, c'est-à-dire que l'on a $2k≥k2\small 2^k \geq k^2$ , démontre qu'alors elle est vraie au rang k+1.

Je te remercie beaucoups, donc d'après ce que je viens de comprendre, ma réponse devrait ressembler à quelque chose du genre :

si on a $u$ _n $2^n$ ,
et $v_n$ = n²

alors $u_1$ =2 et $v_1$ =1

$u_2$ =4 $v_2$ =4

$u_3$ =8 $v_3$ =9

$u_4$ =16 $v_4$ =16

$u_5$ =32 $v_5$ =25

donc on a bien $u_4$ ≥ $v_4$

2-/ et là j'ai un soucis : ça me parait tellement évident que je ne sais pas l'expliquer Je ne pense pas que seulement en disant que la puissance $^{k+1}$ sera toujours au moins aussi grande qu'un carré suffise.
Je ne sais pas si tu arrives à me suivre, moi-même j'm'y perds un peu !

Ton objectif est d'établir que

$2k+1≥(k+1)2,2^{k+1} \geq (k+1)^2,$

en t'appuyant sur le fait que

$2k≥k22^{k} \geq k^2$

(chose que l'on suppose vraie : c'est l'hypothèse de récurrence).

Donc en quelques sortes j'applique les théorèmes de rangement ?

(Je sais que ma réponse arrive trop tard)

En quelque sorte : on a $2k+1≥2k2^{k+1} \geq 2^k$ c'est sûr.

Mais pas seulement, puisqu' on a aussi $(k+1)2≥k2(k+1)^2 \geq k^2$ .

Maintenant la difficulté consiste à justifier pour quoi $2^{k+1}$ est plus grand que $k+1)^2$ , sachant que $2^{k}$ est plus grand que $k^2$ .

Merci beaucoups, c'est bon j'ai réussi à m'en sortir ave un raisonnement en 3 temps :

si 2 $^{(n+1)}$ ≥2n²
et 2n² ≥(n+1)²
alors $2^{(n+1)}$ ≥ (n+1)²

Re.

Ce sont bien les étapes, mais :

la première ligne n'est pas une supposition.
la 2e ligne est à prouver.