Soucis avec une suite


  • S

    Bonjour à tous et toutes ! :razz:
    J'ai un petit exo sur les suite mais qui me pose des soucis :
    Démontrer que, pour tout entier n supérieur ou égal à 4 : 2n2^n2n≥n²
    Puis en déduire la limite quand n tend vers +∞ de 2n2^n2n/n

    Voilà, donc mon prof m'a proposé de le résoudre avec les suites récurrentes mais jen'ai pas très bien compris le principe 😕

    Merci d'avance 😉


  • Zauctore

    Bonjour

    i. commence déjà par l'initialisation, à savoir démontrer que la propriété proposée est vraie pour de petites valeurs de n, par exemple pour n=4 ici puisque c'est demandé.

    ii. ensuite, attaque-toi à l'hérédité: supposant que la propriété est vraie au rang k, c'est-à-dire que l'on a 2k≥k2\small 2^k \geq k^22kk2 , démontre qu'alors elle est vraie au rang k+1.


  • S

    Je te remercie beaucoups, donc d'après ce que je viens de comprendre, ma réponse devrait ressembler à quelque chose du genre :

    si on a uuu_n=2n=2^n=2n,
    et vnv_nvn= n²

    alors u1u_1u1=2 et v1v_1v1=1

    u2u_2u2=4 v2v_2v2=4

    u3u_3u3=8 v3v_3v3=9

    u4u_4u4=16 v4v_4v4=16

    u5u_5u5=32 v5v_5v5=25

    donc on a bien u4u_4u4v4v_4v4

    2-/ et là j'ai un soucis : ça me parait tellement évident que je ne sais pas l'expliquer 😁 Je ne pense pas que seulement en disant que la puissance k+1^{k+1}k+1 sera toujours au moins aussi grande qu'un carré suffise.
    Je ne sais pas si tu arrives à me suivre, moi-même j'm'y perds un peu ! 😆


  • Zauctore

    Ton objectif est d'établir que

    2k+1≥(k+1)2,2^{k+1} \geq (k+1)^2,2k+1(k+1)2,

    en t'appuyant sur le fait que

    2k≥k22^{k} \geq k^22kk2

    (chose que l'on suppose vraie : c'est l'hypothèse de récurrence).


  • S

    Donc en quelques sortes j'applique les théorèmes de rangement ?


  • Zauctore

    (Je sais que ma réponse arrive trop tard)

    En quelque sorte : on a 2k+1≥2k2^{k+1} \geq 2^k2k+12k c'est sûr.

    Mais pas seulement, puisqu' on a aussi (k+1)2≥k2(k+1)^2 \geq k^2(k+1)2k2.

    Maintenant la difficulté consiste à justifier pour quoi 2k+12^{k+1}2k+1 est plus grand que (k+1)2(k+1)^2(k+1)2, sachant que 2k2^{k}2k est plus grand que k2k^2k2.


  • S

    Merci beaucoups, c'est bon j'ai réussi à m'en sortir ave un raisonnement en 3 temps :

    si 2 (n+1)^{(n+1)}(n+1) ≥2n²
    et 2n² ≥(n+1)²
    alors 2(n+1)2^{(n+1)}2(n+1)≥ (n+1)²


  • Zauctore

    Re.

    Ce sont bien les étapes, mais :

    • la première ligne n'est pas une supposition.
    • la 2e ligne est à prouver.

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