exercice d'algèbre linéaire

Bonsoir,

je bloque à la question 5) de cet exercice.

Soit E un espace vectoriel de dimension 3 sur IR, u un endomorphisme de E, a et b deux nombres réels distincts.
On note :
e l'application identique de E, v l'endomorphisme u - ae, w l'endomorphisme u - be, M1 le noyau de v, M2 le noyau de vov, N1 le noyau de w.

Partie I

On suppose que vovow = 0, que vow $≠\neq$ 0, et que M1 et N1 ne sont pas réduits à {0}.

Démontrer que M1 $⊂\subset$ M2 et que M1 $≠\neq$ M2
Démontrer que E = N1 $⨁\bigoplus$ M2 et préciser les dimensions de M1, M2, N1.
Soit $vˉ\bar{v}$ la restriction de v à M2. Que dire de $vˉ\bar{v}$ o $vˉ\bar{v}$ ?
Déterminer le noyau et l'image de $vˉ\bar{v}$ .
Montrer qu'il existe une base de E dans laquelle la matrice de u est $( \array{a&1&0\0&a&0\0&0&b})$

j'ai raisonné de la manière suivante,

soit la base(e1,e2,e3)
e1 $∈\in$ M1, e2 $∈\in$ M2, et e3 $∈\in$ N1

e1 $∈\in$ M1 <=> v(e1)=0 doù u(e1)=ae1

e3 $∈\in$ N1 <=> w(e3)=0 d'où u(e3)=be3

donc j'ai la première et la troisième colonne.

au vu de la deuxieme colonne
faut que je trouve que u(e2)= e1 + a $e_2$

e2 $∈\in$ M2 <=> vov(e2)=0

v(u(e2) - a $e_2$ ))=0

et je ne sais plus que faire...

Merci d'avance

Salut doraemon,

il faut montrer l'existence, donc trouver une base suffit, je pense que tu pourrais dire : je prends $e_3$ dans $N_1$ , e2 dans $M_2$ et $e$ _1 $v(e_2$ ), il te sera aisé de démontrer que $e_1$ ∈ $M_1$ et donc si tu as bien montrer que $N_1$ , $M_1$ et $M_2$ sont supplémentaires, tu auras trouvé une base qui vérifie ce que l'on cherche !