Sommes sh et ch (PCSI)

Bonjour,

Il me faut calculer les sommes :

Cn(x) = Somme des ch(kx) pour k allant de 0 à n

Sn(x) = Somme des sh(kx) pour k allant de 0 à n

Je n'ai rien fait, je ne vois pas du tout du tout comment m'y prendre

Merci pour votre aide

Salut magnum13,

Quelle est la définition de ch, celle de sh ? Essaie d'écrire les sommes différemment avec ces définitions !

kanial
Salut magnum13,

Quelle est la définition de ch, celle de sh ? Essaie d'écrire les sommes différemment avec ces définitions !

Cn(x) = 1/2 Somme pour k de 0 à n (e(kx) + e(-kx))

Sn(x) = 1/2 Somme pour k de 0 à n (e(kx) - e(-kx))

C'est ça ? Et après ?

Ok, après tu as une somme de k=0 à n d'une somme... peut-être pourrais-tu encore l'écrire différemment...

Si je fais ça ??

Somme e(kx) = somme e(x)^k = (1 - e(x)^(k+1)) / (1 - e(x))

Voilà ! C'est ça l'idée ! Sauf que là tu n'as qu'un seul morceau de ta somme et que la somme va de 0 à n, k est une variable muette... Je te laisse faire le calcul de toute la somme ! Et pour les deux...

$e^{kx} = (e^{x})^{k}$

$∑k=0n(ex)k=1−(ex)(n+1)1−ex\sum_{k=0}^{n}({e^{x})^{k}} = {\frac{1-(e^{x})^{(n+1)}}{1-e^{x}}}$

$e^{-kx} = (e^{-x})^{k}$

$∑k=0n(e−x)k=∑k=0n(1ex)k=1−(1ex)(n+1)1−1ex\sum_{k=0}^{n}({e^{-x})^{k}} = \sum_{k=0}^{n}({\frac{1}{e^{x}})^{k}} = \frac{1-(\frac{1}{e^{x}})^{(n+1)}}{1-\frac{1}{e^{x}}}$

?????

Oui tout ça est juste, et :

$∑k=0n(ekx+e−kx)=∑k=0nekx+∑k=0ne−kx\sum_{k=0}^{n}{(e^{kx}+e^{-kx})}=\sum_{k=0}^{n}{e^{kx}}+\sum_{k=0}^{n}{e^{-kx}}$

(c'est une addition, tu peux regrouper les termes comme cela t'arrange...)
Cela devrait te permettre de terminer !

kanial
Oui tout ça est juste, et :

$∑k=0n(ekx+e−kx)=∑k=0nekx+∑k=0ne−kx\sum_{k=0}^{n}{(e^{kx}+e^{-kx})}=\sum_{k=0}^{n}{e^{kx}}+\sum_{k=0}^{n}{e^{-kx}}$

(c'est une addition, tu peux regrouper les termes comme cela t'arrange...)
Cela devrait te permettre de terminer !

Et bien, pour ch, on ajoute ces deux sommes et pour sh on soustrait ces deux deux sommes et pour ch et sh on multiplie par 1/2. Mais ça ne se simplifie pas plus si ?

Ce serait bien de mettre au même dénominateur pour voir ce que ça donne, il y a moyen de faire un peu plus simple quand même je pense...