Démonstration d'une propriété par récurrence

Bonjour à tous, j'ai un exercice sur lequel je bloque complètement, je suis pas sur de bien le comprendre.
Voici l'énoncé.

On considère les 2 propositions Q(n) : "6 divise 7(puissance n) -1" et Q'(n) : "6 divise 7(puissance n) +1"

Démontrer que si les propositions ci dessus sont vraies pour un entier naturel p, non nul, alors elles sont vraies pour l'entier p+1.

a) Q(1) est-elle vraie?
b) Déduire des questions précédents que Q(n) est vraie pour tout entier naturel n non nul.
3)
a) Que dire de Q'(1) ?
b) En utilisant le résultat de la question 2), prouver que Q'(n) n'est vérifié pour aucune valeur de n.

Voila j'aimerai bien un petit coup de pouce Merci

Bonjour,
Comment s'écrit Q(1) ?
Ainsi tu sauras si elle est vraie ou fausse.

Q(1) = 6÷(7-1)=6 Donc Q(1) est vrai.
Mais ça c'est la question 2)a). Je vois pas ce qu'il faut faire pour la 1)

Ton égalité est incompréhensible.
Q(n) est : 6 est un diviseur de $7^n$ - 1
Donc Q(1) est : 6 est un diviseur de $7^1$ - 1 = 6, c'est-à-dire 6 est un diviseur de 6 , ce qui est vrai.
Tu peux donc amorcer la récurrence si c'est ce que souhaite ton professeur ( on n'est pas forcé de démontrer la propriété par récurrence ).

Ah oui merci j'avais pas compris les 2 propositions.
Je vous montre ce que je pense faire :

Soit Pn la proposition " $7^n$ -1 est divisible par 6"

Initialisation
Pour n=1, on a, $7^1$ -1 = 6 qui est divisible par 6
Donc la proposition Pn est initialisé au rang 1.

Hérédité
On suppose qu'il existe un entier P tel que Pp soit vrai, et, sous cette hypothèse de récurrence, on démontre que Pp+1 est alors vrai. C'est à dire qu'on suppose qu'il existe un rang p tel que $7^p$ -1 soit divisible par 6, et, sous cette hypothèse de récurrence, on montre que $7^{p+1}$ -1 est alors divisible par 6.
On suppose donc qu'il existe un entier naturel m tel que $7^{p+1}$ -1=6m, et, sous cette hypothèse de récurrence, on veut prouver qu'il existe un entier naturel k tel que $7^{p+1}$ -1= 6k
Or, $7^{p+1}$ -1 = $7^p$ × 7-1 et comme on a $7^p$ -1=6m, on obtient $7^p$ =6m+1
Donc $7^{p+1}$ -1 = (6m+1)*7-1=42m+7-1=42m+6=6(7m+1).
Or m est un entier, alors 7m+1 est aussi un entier. Donc $7^{p+1}$ -1=6k avec k=7m+1 est un entier. Donc $7^{p+1}$ -1 est divisible par 6.
Donc Pn est héréditaire.

Conclusion
Comme Pn est initialisé au rang 1 et héréditaire, Pn est vrai pour tout entier n non nul.
Donc pour tout entier naturel n non nul, Pn est divisible par 6.

2)a)
Q(1) $7^1$ -1=6 qui est divisible par 6 donc Q(1) est vraie.
b) Là je bloque, j'ai l'impression d'avoir déjà répondu à cette question dans la question 1) ...

Exact.
En fait, dans la question 1, on te demande
uniquementde démontrer ce que tu appelles l'hérédité : SI $P_p$ est vraie, alors $P_{p+1}$ est vraie aussi.
Ensuite : 2)a) Q(1) est vraie
2)b) Q(1) est vraie et on a l'hérédité, donc Q(n) est vraie pour tout n supérieur ou égal à 1.
C'est juste un problème de présentation.

Mais, pour Q', il se peut que l'hérédité fonctionne mais pas l'amorce.

D'accord j'ai juste à dire pour la 2)b) : D'après la question 1, Q(n) est héréditaire et initialisé au rang 1, donc Pn est divisible par 6 pour tout entier n non nul.

Pour Q', qu'apellez vous l'amorce ?

Moi j'aurai fait ceci :
3)a) Q'(1) = $7^n$ +1=8 qui n'est pas un multiple de 6 donc Q(1) est fausse.
b)
Soit Pn la proposition $7^n$ +1 est divisible par 6
Or d'après la question 3)a), Q'(1) est fausse donc la proposition Pn ne peut pas être initialisé au rang 1, donc Pn n'est pas héréditaire.
Ainsi, Q'(n) n'est vérifié pour aucune valeur de n.

Mais je suis pas sûr d'avoir le droit de dire ça ...

L'initialisation.

Citation
la proposition Pn ne peut pas être initialisé au rang 1, donc Pn n'est pas héréditaire..Tu veux dire Q'(n) ?
Ce raisonnement est faux.
Comme je l'ai signalé plus haut, il se peut que Q' soit héréditaire : il faut y regarder de plus près ( comme tu l'as parfaitement fait pour Q )?

Oui Q'(n).

Initialisation
Pour n=0 , Q'(n) = 1 qui est un multiple de 6 donc Q'(n) est initialisé au rang 0.

Hérédité
...
...
Donc Q'(n) est héréditaire.

Mais après que dois-je dire pour que Q'(n) ne soit vérifié pour aucune valeur de n?
Car je viens de dire que Q'(n) est initialisé et héréditaire donc Q'(n) est vraie pour tout entier N supérieur ou égal à 0 ...

L'énoncé précise que l'entier ( tantôt appelé n, tantôt appelé p ) est non nul.
Tu n'as donc pas à t'occuper de Q'(0).
Néanmoins, tu dois démontrer que Q' est héréditaire. ( tes points de suspension ) : procède comme pour Q.
On verra après ce qu'on peut dire ( le raisonnement demandera une certaine finesse ).
Donc, traite l'hérédité de Q'.

Je croyais que l'on avais pas le droit de montrer que c'est héréditaire tant que l'on a pas trouvé un "n" pour initialiser

J'vais rédiger les points de suspensions

Relis bien l'énoncé : il y a un "
SI" au début de la demande.
La proposition
peutêtre héréditaire sans être initialisée.

Hérédité
On suppose qu'il existe un entier P tel que Pp soit vrai, et, sous cette hypothèse de récurrence, on démontre que Pp+1 est alors vrai. C'est à dire qu'on suppose qu'il existe un rang p tel que $7^p$ +1 soit divisible par 6, et, sous cette hypothèse de récurrence, on montre que $7^{p+1}$ +1 est alors divisible par 6.
On suppose donc qu'il existe un entier naturel m tel que $7^{p+1}$ +1=6m, et, sous cette hypothèse de récurrence, on veut prouver qu'il existe un entier naturel k tel que $7^{p+1}$ +1= 6k
Or, $7^{p+1}$ +1= 7p*7+1 et comme on a $7^p$ +1=6m, on obtient $7^p$ = 3m -1
Donc $7^{p+1}$ +1 =(3m-1)*7+1=21m-7+1=21m-6=6( et là ça marche pas car 21 n'est pas un multiple de 6 ...
Faut il dire donc Q'(n) n'est pas héréditaire donc Q'(n) n'est vérifiée pour aucune valeur de n ?

Citation
on a $7^p$ +1=6m, on obtient $7^p$ = 3m -1C'est là qu'est l'os hélas : tu as remplacé un 6 par un 3.
Reprends.

Ah oui j'ai mis le 3 de l'exemple de mon cours ... ( impossible de savoir toutes ces phrases par cœur )

Je continue :
Donc $7^{p+1}$ +1 =(6m-1)*7+1=42m-7+1=42m-6=6(7m-1)
Or m est un entier, alors 7m-1 est aussi un entier. Donc $7^{p+1}$ +1 = 6k est divisible par 6.
Donc Q'(n) est héréditaire.

Q'(n) est héréditaire mais n'est pas initialisé donc Q'(n) n'est vérifié pour aucune valeur de n ?

C'est juste ?

Attention aux mots utilisés.
Q'(n) n'est
pasvérifié
pour toutesles valeurs de n ( elle n'est pas vérifiée pour n = 1).
Mais on te demande davantage : de démontrer qu'elle n'est vérifiée pour
aucunevaleur de n ( supérieur ou égal à 1 ).
Ce n'est pas la même chose: Q' pourrait être vérifiée pour certaines valeurs de n et pas pour d'autres ...

Là je vois vraiment pas comment démontrer pour les autres valeurs de n :s

Compare $7^n$ +1 avec $7^n$ -1