Fonctions polynômes : critère de divisibilité par 9 et polynomes

[Cynthia26]

Le but de cet exercice est de montrer qu'un entier N est divisible par 9 si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 9.

A l'entier N on associe le polynôme :
$P(x)=a_n$ $x^n$ + $a_{n-1}$ $x^{n-1}$ + ... + $a_1$x + $a_0$.
Ainsi N=P(10)

Exemple :
Au nombre N= 9873 on associe la fonction polynôme :
P(x) = 9x³ + 8x² + 7x + 3
ainsi N=P(10)

Soit N un entier naturel. N = $a_n$ $a_{n-1}$...$a$_2$a$_1$a_0$ (où $a_0$, $a_1$,..., $a_n$ sont des entiers naturels compris entre 0 et 9)

1- Soit S la somme des chiffres de N. Montrer que S = P(1)

2- On pose R(x) = P(x) - S. Montrer que 1 est une racine du polynôme R(x)

3- En déduire que P(x) = (x-1)Q(x) + S où Q est une fonction polynôme de degré n-1

4- Montrer que N = 9 Q(10) + S

5- En déduire que N est divisible par 9 si et seulement si S est divisible par 9

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Donc pour la question 1 j'ai fait :
P(1) = 9×1³+8×1²+7×1+3
= 9+8+7+3
= 27
Donc P(1) = 27
Mais comment fait-on pour trouver quelle est la somme des chiffres de N et ainsi montrer que S = P(1) ?

[Zauctore]

Salut

Dans l'écriture N = $a_n$ $a_{n-1}$...$a_2$ $a_1$ $a_0$ en fait puisque les $a_k$ sont entiers compris entre 0 et 9, hé bien ce sont les chiffres !

La somme des chiffres de N est donc $a_n$ + $a_{n-1}$ +... + $a_2$ + $a_1$ + $a_0$

Et P(1) est $a_n$ $1^n$ + $a_{n-1}$ $1^{n-1}$ + ... + $a_1$1 + $a_0$

Rq : pense à utiliser les boutons Exposant et Indice, ci-dessous

[Cynthia26]

Ok alors j'ai fait :

P(1) = 9x1³+8x1²+7x1+3
= 9+8+7+3
= 27
Donc P(1) = 27

Soit S =9+8+7+3 = 27 donc S=P(1)

C'est bien sa?

Pour la question 2 : R(x) = P(x) - S

R(x) = 9x³ + 8x² + 7x + 3 - 27
Donc R(1) = 9x1³ +8x1²+ 7x1 +3 - 27
= 0
Alors 1 est bien la racine du polynôme R(x)

Question 3 : P(x) = (x-1) x Q(x) + S
P(x) est une fonction de degré 3
(x-1) est de degré 1 donc Q(x) sera de degré n-1 soit (ax³+bx²+c)

P(x)=(x-1) (ax³+bx²+c) + S
= ax³+(b-1a)x²+(c-1b)x-1c + 27 = 9x1³+8x1²+7x1+3

Par identification des coefficients des termes de même degré :

a =9 a =9
b-1a = 8 ⇔ b = Et la je ne sais pas comment trouver b et c .
c-1b = 7 c Et comment ajouté le S qui est égale a 27
1c = 3

[Zauctore]

Re.

pour la 1re question, on ne te demande pas de refaire l'exemple mais plutôt de travailler avec un entier N général. le polynôme aura donc pour degré n.

à la question 3, c'est un peu le même problème : tu n'as raisonné que dans le cas du nombre 9873, alors qu'il faut travailler plus en général, avec N, n.
on ne te demande pas d'expliciter Q, non plus.

[Cynthia26]

Merci .
Donc pour la 1 : Si N = an an-1 ... a2 a1 a0
Alors S = an+an-1+...+a2+a1+a0
Donc P(1) = an1n + an-1 1n-1 + ... + a1 1 + a0
Alors S=P(1)

2: R(x)=P(x) - S
Si P(1) = S alors P(x) - S = 0 donc 1 est bien la racine du polynôme R(x)

3: P(x) = (x-1) x Q(x) + S
P(x) de degré n et Q(x) de degré n-1 et x-1 de degré 1

Soit P(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0
Et S = an+an-1+...+ a2+ a1+a0
Comment trouve t-on Q(x)?