divisions euclidiennes-demonstrations HELP (problème non résolu)

boujour,
je dois faire une demonstration pour lundi mais je bloque sur une partie de la question :
"soit n un entier naturel; on pose :
a= 18n + 80 et b= 15n + 26
soit d diviseur commun à a et b.
démontrez que si d est pair, alors n est pair."

je suis partie sur le théorème de récurrence mais je doute que ce soit la bonne méthode.
avez vous une piste pour trouver comment montrer que si d=2k, n=2k' ?

merci de votre aide

Bonjour,
d divise 15n + 26
Or 26 est pair, je te laisse continuer.

pardon, mais je ne comprends pas :
de quel calcul part-on au départ ?
si je prends d divise ua + vb, alors 2k divise 18nu + 80u + 15nv + 26v
et il faut démontrer qu'à l'issue de ce calcul on obtient : n =2k'.
on ne connait ni u ni v, donc ... ?

Citation
soit d diviseur commun à a et bd divise l'un
etl'autre , et pas seulement au + bv
Il divise b qui vaut 15n +26 , donc d est diviseur de 15n + 26
d est pair : 2 est un diviseur de d donc aussi de 15n + 26
Or 2 divise 26, donc ...

donc tu dis que :
comme 2 divise d et d divise 18n + 80, alors :
2 divise 18n + 80 donc 18n + 80 = 2k soit n = 2 ((k-40)/18). donc n = 2k' avec k' = (k-40)/18.

et en reprenant le même raisonnement :
(...) 15n + 26 = 2k soit 15/2 n + 13 = k <=> n = (k-13)X(2/15) <=> n = 2( ( k-13 )/15 ). on en déduit que n = 2k' avec k' = (k-13)/15.

je pense que cette fois c'est ok ...?
merci en tous cas

en fait je reviens sur mon dernier message :
pour le premier cas, ce que j'ai dis est faux puisque k' doit appartenir à Z pour que 2k' soit un nombre paire. Or ici, k'= (k-40)/18, ce qui n'appartient pas à Z mais plutot à Q ...!

il en est de même pour le deuxième cas, comment dois-je donc m'y prendre ?

C'est beaucoup plus simple.
15n + 26 doit être un nombre pair.
Or 26 est pair, donc il faut que 15n soit pair, ce qui exige que n le soit ( si n est impair, en multipliant par 15 qui est impair, 15n serait impair ).

Dans le cas de a = 18n + 80 , c'est trivial :
18n + 80 = 2(9n + 40) et ton k' vaut ici 9n+40 , peut importe n.
Par contre, pour b = 15n + 26, n étant pair ( démonstration ci-dessus ) , on peut poser n = 2k"
Donc b = 2(15k" +13) : ton k''' vaut 15k" +13.
Mais pas besoin ici de passer par tous ces intermédiaires.
Relis seulement le raisonnement ( pair/impair ) et oublie le reste.

c'est clair pour le cas de b, mais avec ce raisonnement, n dans a peut être impair puis que 80 est pair donc 18n est pair et 18 est pair ce qui signifie que peut importe la parité de n, 18n sera toujours pair

d doit être un diviseur de ET de b.
Comme a vaut 18n+80, il est automatiquement pair, que n le soit ou pas, et même que d le soit ou pas.
Par contre, le problème vient de b = 15n + 26
26 est pair : tout va bien.
Mais si d est pair, a doit l'être aussi et donc 15n doit être pair.
Et cela exige que n le soit.
Comprends-tu ce raisonnement ?
Il n'y a rien de plus à dire pour répondre à la question posée.

mais il faut démontrer que si d est pair, n est pair
cela implique aussi cette parité dans a, n'est ce pas ?

Oui, parce que d est un diviseur de a et de b : si d est pair a et b le sont .
Mais comme je t'ai dit plus haut : a est
automatiquementpair , même si n ou d ne le sont pas : donc on n'a pas à se préoccuper de a, seulement de b qui pourrait être pair ou impair ( ça dépend de n ).