3. Devoir maison recurrence urgent

Devoir maison recurrence urgent

  • C

    Bonjour à tous j'ai pour demain un devoir maison et il y a un exercice sur lequel je bosse depuis hier que je n'arrive pas a resolure . Si quelqu'un pourrais m'apporter son aide elle serait la bienvenue. Voici L'exercice :
    Soit SnS_nSn​ la somme des cubes des n premiers entiers naturels impairs .

    1. Calculer S1S_1S1​ S2S_2S2​ et S3S_3S3​ (résolue)
      2)Démontrer par récurrence que pour tout entier naturels n≥1 on a:
      SnS_nSn​= 2n42n^42n4 −n2-n^2−n2
      3)Quel est l'entier n pour lequel SnS_nSn​= 41 328

    Merci d'avances pour vos réponses

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  • P

    Bonjour,
    Je veux bien le faire avec toi, ça m'aidera à mieux comprendre pour mon devoir surveillé de demain.
    Par contre, peux tu me donner S0, pour calculer S1,S2et S3.
    Merci.

    C 1 réponse
  • C

    Ben pour Calculer S1S_1S1​ il est inutile de connaitre S0S_0S0​. On nous dit que SnS_nSn​ est la somme des cubes des n premiers entiers naturels impairs. Donc SSS_1=13=1^3=13, SSS_2=1=1=1^3+33+3^3+33=28 et SSS_3=1=1=1^3+3+3+3^3+53+5^3+53=153

    P 1 réponse
  • P

    Ben moi aussi je bloque, trouver S1, S2 et S3, ça passe mais le reste, je bloque, il faut essayer de trouver la conjecture je pense non?

    M 1 réponse
  • M

    Bonjour,
    Les n premiers entiers impairs : le premier est 1, le second est 3 , quel est le nième ? ( comment s'écrit-il ? )

    P 1 réponse
  • P

    euh..(n+2)

    M 1 réponse
  • M

    Non : vérifie pour 1 , 3 , 5 , 7
    Pour 1 : n=1 , donc déjà ce n'est pas n+2

    C 1 réponse
  • C

    Papillon26
    euh..(n+2)

    Oui c'est ça

    P 1 réponse
  • P

    pour S1= 1 , pour S2= 28 et pour S3= 153

    Je comprend pas du tout la, je suis perdue.

    M 1 réponse
  • M

    Messages croisés.
    Citation
    Non : vérifie pour 1 , 3 , 5 , 7
    Pour 1 : n=1 , donc déjà ce n'est pas n+2

    C 1 réponse
  • C

    Papillon26
    Ben moi aussi je bloque, trouver S1, S2 et S3, ça passe mais le reste, je bloque, il faut essayer de trouver la conjecture je pense non?
    Ben Si SnS_nSn​ = 2n42n^42n4 −n2-n^2−n2 cela signifie que
    111^3+33+3^3+33+...+n+n+n^3=2n=2n=2n^4−n2-n^2−n2

    Donc il faudrait montrer que SSS_{n+1}=2(n+1)=2(n+1)=2(n+1)^4−(n+1)2-(n+1)^2−(n+1)2

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  • M

    Non. Je l'ai dit dans mon précédent message.
    Tu ne tiens pas compte de l'adjectif "impair".
    Fais un tableau :
    nombre de termes(n)---somme correspondante (Sn)
    1----------------------------S1 = 1
    2----------------------------S2 = 1 + 333^333
    3----------------------------S3 = 1 + 333^333 + 535^353

    n----------------------------Sn = 1 + 333^333 + ... + (??)3(??)^3(??)3

    P 1 réponse
  • P

    S1= 1
    S2= 1 + 333^333
    S3= 1 + 333^333 + 535^353

    donc Sn= 1 + 333^333 + ......(n+5)3(n+5)^3(n+5)3

    Est ce que c'est ça?

    M 1 réponse
  • M

    Non : vérifie par exemple pour n = 2 est-ce que le dernier terme est n+5 = 7 ?
    Non puisque c'est 3.

    Et pour n = 3 : est-ce que le dernier terme est n+5 = 8 ( qui est pair !! ) ?
    Non puisque ce dernier terme est 5.

    Tu dois trouver comment s'exprime le dernier terme en fonction de n : ce n'est ni n+2, ni n+5 : c'est ???
    Pense à la façon de noter un nombre impair...

    P 1 réponse
  • P

    je suis vraiment désolée mais je comprend toujours pas.
    Je n'arrive pas à conjecturer, et décidément je n'y arriverais jamais, j'ai bien l'impression.

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  • M

    Bon je t'aide.
    Les entiers impairs vont de 2 en 2.
    C'est pourquoi on les note souvent sous la forme 2n + 1 ou 2n - 1 selon les besoins.
    Ici :
    pour n = 1 , le dernier terme est 1 = 21 - 1
    pour n = 2, le dernier terme est 3 = 2    2-1
    pour n = 3, le dernier terme est 5 = 2*3-1
    De façon générale, le dernier terme est 2n-1
    Tu dois donc démontrer par récurrence que
    131^313 + 333^333 + ... + (2n−1)3(2n-1)^3(2n−1)3 = 2n42n^42n4 - n²

    Comment s'écrira Sn+1S_{n+1}Sn+1​ ?

    P 1 réponse
  • P

    Merci beaucoup pour cette explication, je vais la retenir!
    donc, Sn=2n4Sn=2n^4Sn=2n4 −n2-n^2−n2

    et S(n+1)= 2(n+1)42(n+1)^42(n+1)4 - (n+1)2(n+1)^2(n+1)2

    Est ce que c'est bien cela?

    M 1 réponse
  • M

    C'est ce qu'il faut démontrer.

    1. L'initialisation est bonne : ça marche pour n = 1, pour n = 2.

    2)l'hérédité : supposant que Sn=2n4Sn=2n^4Sn=2n4 −n2-n^2−n2, il faut démontrer que
    S(n+1)= 2(n+1)42(n+1)^42(n+1)4 - (n+1)2(n+1)^2(n+1)2

    Pour cela, je t'avais demandé d'exprimer S(n+1).

    P 1 réponse
  • P

    j'ai mis,

    Initialisation:
    pour n=1-------------------------S1= 1

    2(1)42(1)^42(1)4 - (1)2(1)^2(1)2 = 2- 1= 1

    Donc, la proposition est vraie au rang 1.

    Hérédité:

    On suppose que pour un entier K, Sk= 2k42k^42k4 - k2k^2k2
    On veut démontrer que S(k+1)= 2(k+1)42(k+1)^42(k+1)4 - (k+1)2(k+1)^2(k+1)2.

    je continue la suite sur mon brouillon et je vous le montre, merci encore!

    M 1 réponse
  • M

    OK.
    N'oublie pas :
    Citation
    Pour cela, je t'avais demandé d'exprimer S(n+1)tu en auras besoin.

    M 1 réponse
  • M

    Je vais devoir me déconnecter, alors je te montre :
    S(n+1) = 1^3 + 3^3 + ... + (2n-1)^3 + (2n+1)^3 ( on va jusqu'au terme de rang n+1)
    S(n+1) = S(n) + (2n+1)^3
    Selon l'hypothèse de l'hérédité : S(n) = 2n^4 - n²
    Il faut donc vérifier l'égalité :
    2n^4 - n² + (2n+1)^3 = 2(n+1)^4 - (n+1)²
    Pour cela effectue séparément les deux calculs : tu dois trouver la même chose. C'est un peu fastidieux mais pas difficile : c'est uniquement calculatoire.
    P.S. J'ai continué à appeler n ce que tu as appelé k : c'est sans importance.
    Bon courage.

    P 1 réponse
  • P

    Je vous remercie beaucoup en tout les cas!
    Je crois que j'ai un peu saisie, mais mon soucis s'effectue toujours sur les conjectures!
    Bonne soirée!
    Merci encore 😄

    M 1 réponse
  • M

    De rien.
    A+

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