DM sur continuités et limites

Bonjour!
Dans un DM portant sur les continuités et les limites, j'ai la question suivante:

sachant que $\frac{1}{2}(7x^3-3x^2-15x-\frac{190}{49})$
montrez que l'équation $f (x) = 0$ possède trois solutions réelles dont on donnera une valeur approchée à $10^{-1}$ près.

Je n'arrive pas à voir comment le montrer sans calculatrice... :frowning2: alors merci de m'éclaircir si vous passez par là

Bonjour,

Etudie les variations de la fonction f.

C'est-à-dire que j'étudie les variations de f en 0+, 0- et 0?
Merci Noemi!

Non,

Etudie les variations de f sur R.
Dérivée,
sens de variation
tableau de variation

Merci pour toutes ces pistes mais je n'arrive pas à dépasser ce stade:

$f^{'} (x) = 0$
Qu'est-ce que je suis censée faire? Désolée je planche dessus depuis un bon bout d'temps étant un cas désespéré en maths.

As tu calculé la dérivée ?

Résoudre f'(x) = 0, revient à résoudre une équation du second degré.

Est-ce que le discriminant a quelque chose à avoir avec tout ça?
Sachant que $7x^3-3x^2-15x-\frac{190}{49}$ ,
$f'(x) = 21x^2-6x-15$ , donc je dois ici calculer le discriminant et étudier ce discriminant par rapport à 0?

Oui,

Calcule le discriminant, puis les valeurs qui annulent la dérivée.

D'accord, donc je trouve:

Sachant que $f'(x)= 21x^2-6x-15$ ,
Δ= 1296 d'où
x1= 1 et x2= $−57-\frac{5}{7}$ .
Je réfléchis quant à la troisième valeur...

Merci infiniment pour ton aide et ta patience Noemi!
J'ai enfin pu terminé le numéro 4 de ce DM

As-tu complété le tableau de variation ?
Quelles sont les trois solutions ?

J'ai cru avoir trouvé la troisième solution mais en fait je crois que je me suis encore trompée.
Cette partie de l'exercice se fait en fonction du reste du DM donc est-ce que je devrais poster le DM en entier? Car il me reste des zones d'ombres dans d'autres parties également.

Dans la question 2, on nous donne le tableau de variation de la fonction R et ils donnaient déjà les deux premières solutions que je devais trouver c'est-à-dire -5/7 et 1. Et grâce à la question 3 je pensais trouver la troisième solution.

Bon je vais poster l'énoncé de mon devoir maison en entier ça faciliterait la tâche.

Enoncé:

f est la foncion définie sur R par:
$f(x)=12(7x3−3x2−15x−19049)f(x)=\frac{1}{2}(7x^3-3x^2-15x-\frac{190}{49})$

1. Etudiez la limite de f en +∞ et -∞.

2. On donne ci-dessous le tableau de variation de la fonction f sur R.

x -∞ ; -5/7 ; 1 ; +∞

f(x) → ; M>0 ; → m<0 ; →

la première flèche monte, la deuxième descend, la troisième monte

a) Complétez ce tableau en indiquant les limites en -∞ et en +∞. Calculez les extrêmums.
b) Complétez le tableau suivant (donnez pour f(x) des valeurs approchées à $10^{-3}$ près).

x -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2
f(x)

**3.**a) f croît strictement sur ]-∞;-1,5[, d'où, pour tout x<-1,5, f(x)<0 et l'équation f(x)=0 n'a pas de solution dans ]-∞;-1,5[. Expliquez pourquoi, à l'aide du théorème de la valeur intermédiaire, il existe α unique dans [-1,5;[tex]- 5/7[ vérifiant f(α)=0.
b) A l'aide du tableau de valeurs du 2.b), donnez un encadrement de α d'amplitude 0,5, puis, à l'aide de la calculatrice, donnez une valeur approchée de α à $10^{-1}$ près par défaut.

**4.**Montrez que l'équation f(x)=0 possède trois solutions réelles dont on donnera une valeur approchée à $10^{-1}$ près.

**5.**a) Déterminez trois réels a, b, c tels que pour tout x réel,
$7x3−3x2−15x−19049=(7x+2)(ax2+bx+c)7x^3-3x^2-15x-\frac{190}{49}=(7x+2)(ax^2+bx+c)$

b) Déduisez-en la résolution de l'équation f(x)=0. Comparez les résultats à ceux obtenus au 4.

6. Tracez Cf pour x∈ [-2;2].

Pour la question 4, utilise le tableau de variations de la fonction. Combien de fois, la courbe coupe t-elle l'axe x'Ox ?

La courbe coupe trois fois l'axe x'Ox : entre ]-∞;-5/7[, ]-5/7;1[ et ]1;+∞[. Mais ça ne me donne pas les solutions réelles à $10^{-1}$ près.

Voici jusqu'où j'ai avancé:

lim f(x) = +∞ (passage par un cas d'indétermination de type ∞-∞)
x→ +∞
lim f(x) = -∞
x→ -∞

2.a) Dans le tableau de variation en -∞, j'indique -∞ et en +∞, +∞. Pour calculer le maximum, je remplace x par -5/7 ce qui donne M= 135/98 et pour le minimum, je remplace x par 1 ce qui donne m= -729/98.

b) x ; -2 ; -1,5 ; -1 ; -0,5 ; 0 ; 0,5 ; 1 ; 1,5 ; 2
f(x) ; -0,021 ; -0,006 ; 0,0006 ; 0,001 ; 0,002 ; 0,006 ; 0,007 ; 0,005 ; 0,005

3.a) On sait que:

f est strictement croissante et continue sur ]-∞;-1,5[
f(x)=0 n'a pas de solution dans l'intervalle ]-∞;-1,5[
Or, d'après le tableau de variation, f est strictement croissante et continue su ]-∞; -5/7].Sachant que -1,5 ∈ ]-∞; -5/7], on peut dire que f est strictement croissante sur [-1,5;-5/7[ et qu'elle prend une fois et une seule toute valeur comprise entre f(-1,5) et f(-5/7) c'est-à-dire 0.

b) f(-1,5)<f(α)<f(-1) càd -0,005<α<0,0005
α=-0,11 (trouvé grâce à la calculatrice)

5.a) a= 1, b= -5/7 et c=-95/49
J'ai développé $7x+2)(ax^2+bx+c)$ et associé chaque terme trouvé à la première partie.

b) Que veulent-ils dire?

Le traçage c'est bon! ^.^