Donner l’écriture décimale de 5/13, demo sup(A inter B) = min(sup(A), sup(B))

[mystere29]

Bonjours, je bloque pour deux questions.

Je voudrais savoir comment on fait pour donner l’écriture décimale de 5/13.

Et la démonstration de
sup(A ∩ B) = min(sup(A), sup(B))

merci

[Noemi]

Bonsoir,

5/13 = 0,$q$_1$q$_2$q_3$....

Les décimales se calculent par des divisions euclidiennes successives ayant des restes non nuls
$r_0$ = 5
10 $r_0$ = 13 $q_1$+ $r_1$ avec 0 < $r_1$ < 13
$10r_1$ = 13 $q_2$ + $r_2$ avec ....
...

[Sigmia]

Bonjour ;

je connais le début de la démonstration qui vise tout d'abord à démontrer que min(sup(A), sup(B)) majore l'ensemble (A ∩ B)
[cad min(sup(A), sup(B)) ≥ sup(A ∩ B) ]

mais pour pouvoir dire que min(sup(A), sup(B)) = sup(A ∩ B)
Il faudrait en plus démontrer la deuxième inclusion; à savoir
min(sup(A), sup(B)) ≤ sup(A∩B)....

j'ai la même démonstration à faire donc si tu as des idée je suis aussi preneuse...

[mathtous]

Bonjour,
Il faudrait commencer par préciser ce que sont A et B.
L'égalité sup(A ∩ B) = min(sup(A), sup(B)) me semble fausse.
Ainsi : A = {1;2;3;4} , B = {1;2;3;5}
Donc A∩B = {1;2;3}
sup(A) = 4 , sup(B) = 5, donc min(sup(A),sup(B)) = 4
Mais sup(A∩B) = 3

[Sigmia]

Hum tout à fait correcte ! Donc l'ensemble (A ∩ B) serait seulement majorée par min(sup(A), sup(B))...?

j'ai du mal recopier mon énoncé, un = et vite confondu avec un ≤ quand on écrit mal..

Merci pour tes lumières mathtous...!

[mathtous]

A moins que A et B n'aient des propriétés particulières.
C'est pourquoi j'avais demandé de préciser ce que sont A et B.

[mystere29]

je me suis tromper avec = et ≤.

[mathtous]

Bon.
Mais tu sais démontrer que sup(A ∩ B) ≤ min(sup(A), sup(B)) ?
Pour ce qui concerne la question de l'écriture décimale de 5/13, je t'invite à lire : écriture décimale illimitée d'un rationnel

[Sigmia]

Dans ce cas je pence avoir la démonstration

je te la note plus bas mais elle n'est pas si dur à trouver ; commence déjà par noter tout ce que tu sais sur A, B, etc... et après ça devrait te paraître évident..

Voici la démonstration que j'ai trouvé:

Soit A et B deux sous ensemble de R.
On suppose (A ∩ B) non vide .

∀ x ∈ A, x ≤ sup(A) et ∀ y ∈ B, y ≤ sup(B) par définition de la borne sup;
(A n B) ≠ Ø donc il existe un élément c tel que c ∈ (A ∩ B).
c ∈ (A n B) donc c ∈ A et c ∈ B par définition de l'intersection.
c ∈ A implique que c ≤ sup(A) et c ∈ B implique que c ≤ sup(B)

Si on appelle d = min(sup(A) , sup(B)) on a donc c ≤ d, ∀ c ∈ (A ∩ B). Donc d majore l'ensemble (A ∩ B)

[mathtous]

Ca me semble correct.
Pour ce qui concerne la question de l'écriture décimale de 5/13, je t'invite à lire : écriture décimale illimitée d'un rationnel