Donner l’écriture décimale de 5/13, demo sup(A inter B) = min(sup(A), sup(B))


  • M

    Bonjours, je bloque pour deux questions.

    Je voudrais savoir comment on fait pour donner l’écriture décimale de 5/13.

    Et la démonstration de
    sup(A ∩ B) = min(sup(A), sup(B))

    merci 😄 😄


  • N
    Modérateurs

    Bonsoir,

    5/13 = 0,qqq_1qqq_2q3q_3q3....

    Les décimales se calculent par des divisions euclidiennes successives ayant des restes non nuls
    r0r_0r0 = 5
    10 r0r_0r0 = 13 q1q_1q1+ r1r_1r1 avec 0 < r1r_1r1 < 13
    10r110r_110r1 = 13 q2q_2q2 + r2r_2r2 avec ....
    ...


  • S

    Bonjour ;

    je connais le début de la démonstration qui vise tout d'abord à démontrer que min(sup(A), sup(B)) majore l'ensemble (A ∩ B)
    [cad min(sup(A), sup(B)) ≥ sup(A ∩ B) ]

    mais pour pouvoir dire que min(sup(A), sup(B)) = sup(A ∩ B)
    Il faudrait en plus démontrer la deuxième inclusion; à savoir
    min(sup(A), sup(B)) ≤ sup(A∩B)....

    j'ai la même démonstration à faire donc si tu as des idée je suis aussi preneuse...


  • M

    Bonjour,
    Il faudrait commencer par préciser ce que sont A et B.
    L'égalité sup(A ∩ B) = min(sup(A), sup(B)) me semble fausse.
    Ainsi : A = {1;2;3;4} , B = {1;2;3;5}
    Donc A∩B = {1;2;3}
    sup(A) = 4 , sup(B) = 5, donc min(sup(A),sup(B)) = 4
    Mais sup(A∩B) = 3


  • S

    Hum tout à fait correcte ! Donc l'ensemble (A ∩ B) serait seulement majorée par min(sup(A), sup(B))...?

    j'ai du mal recopier mon énoncé, un = et vite confondu avec un ≤ quand on écrit mal..

    Merci pour tes lumières mathtous...!


  • M

    A moins que A et B n'aient des propriétés particulières.
    C'est pourquoi j'avais demandé de préciser ce que sont A et B.


  • M

    je me suis tromper avec = et ≤.


  • M

    Bon.
    Mais tu sais démontrer que sup(A ∩ B) ≤ min(sup(A), sup(B)) ?
    Pour ce qui concerne la question de l'écriture décimale de 5/13, je t'invite à lire : écriture décimale illimitée d'un rationnel


  • S

    Dans ce cas je pence avoir la démonstration 😄

    je te la note plus bas mais elle n'est pas si dur à trouver ; commence déjà par noter tout ce que tu sais sur A, B, etc... et après ça devrait te paraître évident.. 😉

    Voici la démonstration que j'ai trouvé:

    Soit A et B deux sous ensemble de R.
    On suppose (A ∩ B) non vide .

    ∀ x ∈ A, x ≤ sup(A) et ∀ y ∈ B, y ≤ sup(B) par définition de la borne sup;
    (A n B) ≠ Ø donc il existe un élément c tel que c ∈ (A ∩ B).
    c ∈ (A n B) donc c ∈ A et c ∈ B par définition de l'intersection.
    c ∈ A implique que c ≤ sup(A) et c ∈ B implique que c ≤ sup(B)

    Si on appelle d = min(sup(A) , sup(B)) on a donc c ≤ d, ∀ c ∈ (A ∩ B). Donc d majore l'ensemble (A ∩ B)

    🆒


  • M

    Ca me semble correct.
    Pour ce qui concerne la question de l'écriture décimale de 5/13, je t'invite à lire : écriture décimale illimitée d'un rationnel


Se connecter pour répondre