probleme Complexe

bonjour tout le monde !!
voila j'ai un exo a faire et cela fait deux heures que je cherche la solution a la question 2 .
voici l'énoncé :
le plan complexe est rapporté au repere (o,u,v) direct .on prendra pour unité graphique 2cm.
1 )resoudre dans C l'equation (z-2i)(z²-2z+2)=0
2 ) Soit A et B les point d'affixes respectives ZA=1+i et ZB=2i .
A tout complexe Z différent de A, on associe le complexe z'=(z-2i)/(z-1-i)
a) soit C l'ensemble des points M d'affixe z tel que z' soit imaginaire pur .montrer que B ∈C .determiner et construire l'ensemble C
b) soit F l'ensemble des points M d'affixe z tel que $∣z′∣\left|z' \right|$ =1
determiner et construire F.

alors j'ai fait la 1 j'ai trouver 3 solutions qui sont z1=1+i z2=1-i z3=2i
pour la question 2 je sais pas du tout comment m'y prendre voila ..

une petite aide ? :frowning2:

Bonjour,
Pour voir si B∈C, tu remplace z par zB et tu vois ce que tu trouves.
Puis, cherche l'argument de z'.

Bonjour ,
B a pour affixe 2 i donc je remplaces z par 2 i dans l'écriture de z' tj'ai fais les calculs et je trouves z' = 0
donc z' est un imaginaire pur donc B appartient à C
Cependant pour l'argument je vois pas trop comment faire on ne l'a pas encore vu donc... mais je pense qu'il y'a un histoire de module ?

Tu sais ce qu'est l'argument d'un nombre complexe ?

Non on la pas encore vu mais sur mon livre y' a ecrit Z=module (x/module)+(iy/module))

Et tu n'as pas z = |z|(cos θ + i sin θ ) ?
Ou quelque chose de ce genre ?

Non je crois que ca c'est une ecriture sous forme trigonométrique (sauf si je dis des betise ) et elle veut qu'on le fasse sous forme algébrique

La solution de la question 2.b passe par les modules, mais celle de la question 2.a passe par les arguments.
La forme trigonométrique met en évidence l'argument : c'est ce que j'ai noté θ.

D'accord donc pour la 2 a j'ai besoin des argument est-ce tu pourrai me donner une piste pour le trouvé ? parce que la je suis un peu perdu

Tu dois savoir deux choses:

quel est l'argument d'un nombre imaginaire pur ? ( fais un dessin ).
Il est impératif de savoir que arg(z.z') = ??
Et donc que arg(z/z') = ??

$fichier math$
Tu vois sur ce dessin l'argument θ du nombre z.

alors je suppose que c'est pour :

arg z =π/2 +kπ
arg zz'=arg z+ arg z' donc
arg z/z'=arg z - arg z'
j'espere que j'ai pas fait d'erreur

C'est bon : tu appliques cela au quotient (z-2i)/(z-1-i) = (z-zB)/(z-zA)

D'accord seulement je fait comment ? arg(z-2i)-arg(z-1-i)? j'avoue que je suis en train de m'embrouillé tout seule . :frowning2:

Ecris plutôt : arg(z-zB) - arg(z-zA)

que vaut cette différence ?
Que représente-t-elle géométriquement ?

en faite c'est le arg qui me gene pour calculer je sais pas comment le retranscrire en numerique .

arg(z') = arg(z-zB) - arg(z-zA)
Or z' est imaginaire pur, donc cela vaut ? ( tu as déjà répondu me semble-t-il ).

Donc je laaisse comme ca.
ca doit valoir π/2 ?

π/2 modulo π, ou ± π/2 modulo 2π
Donc arg(z-zB) - arg(z-zA) = ± π/2 modulo 2π

Mais que représente cette différence géométriquement ?

$fichier math$

que (ZA) et (ZM) sont perpendiculaires en Z et donc l'ensemble C est un cercle ?

Presque. N'oublie pas que le dénominateur du quotient ne doit pas être nul, donc que z ≠ zA
Il faut donc prendre le cercle ( précise ses éléments ) privé du point A.
Remarque : utilise les lettres A,B,M, ... quand tu parles des points, et zA,zB,z,... quand tu parles de leurs affixes.
Je dois maintenant me déconnecter.
A+

En tout cas merci beaucoup tu m'a enormément aidé

De rien.
N'hésite pas si tu as encore des questions.