Devoir maison sur la fonction partie entière

Bonjour, je ne comprends pas un exercice sur la fonction partie entière qui est:

Soit la fonction f(x)=E(x)+[x-E(x)]² définie sur R

Montrer que f(x+1)=f(x)+1. Qu'en déduit on pour les points M(x;f(x)) et M'(x+1;f(x+1)
2)TRacer la courbe d'équation y=f(x) pour x appartenant à [0;1]
En déduire la représentation graphique de f pour x appartenant a R
La fonction f est elle continue sur R

Merci de bien vouloir m'aider ou de me donner des pistes pour pouvoir résoudre cet exercice

Bonjour,
E(x) est le plus grand entier inférieur ou égal à x
Si n = E(x) , on a donc n ≤ x < n+1
( Attention aux inégalités strictes ou larges ).
Que peux-tu dire de E(x+1) ?

Que E(x)≤x< E(x+1)

J'ai essayé de résoudre la première partie de la première question mais je ne comprends pas se que je dois en déduire

Citation
Que E(x)≤x
Cela est vrai mais ne répond pas à la question posée:
Citation
Que peux-tu dire de E(x+1) ?

$fichier math$

que E(x) ≤ E(x+1) < E(x+2)

et peut on en déduire donc que

E(x)+[x-E(x)]² ≤ M < M' ?

Pas assez précis.
Regarde le dessin que j'ai posté.
Si on désigne par n la partie entière de x : E(x) = n, que remarques-tu sur E(x+1) ? est-ce n, n+1, n+2 , autre chose ?

Je peux voir que x+1 est aussi proche de n+1 comme l'est x pour n et que l'écart est identique

Et que vaut l'écart entre x et x+1 ?
Entre n et n+1 ?
Mais surtout essaie de répondre aux questions posées : Que vaut E(x+1) ? n, n+1, n+2, autre chose ?

L'écart entre x et x+1 est de 1.
Celui de n et n+1 est de 1.
Je pense que E(x+1) vaut n+1 car E(x)=n

Oui.
On peut le démontrer rigoureusement :
Notant n la partie entière de x, on a :
n ≤ x < n+1
On ajoute 1 partout :
n+1 ≤ x+1 < n+2.
Cela prouve que la partie entière de x+1 est n+1 = E(x) + 1
Tu peux alors remplacer E(x+1) dans l'expression de f(x+1)

Merci, pour la premiere question j'avais résonné comme cela:

Pour ∀x ∈ R, on a E(x+1) = E(x)+1
Donc pour tout réel x

f(x+1)= E(x+1) + (x+1-E(x+1))²
= E(x)+1+(x+1-(E(x)+1))²
=E(x)+1+(x-E(x))²
=E(x)+1+x²-2xE(x)+(E(x))²

D'autre part
f(x)+1= E(x)+(x-E(x))²+1
=E(x)+x²-2xE(x)+(E(x))²+1

Et donc on remarque que les expressions sont identiques et que donc pour tout réel x, f(x+1)=f(x)+1

Ai-ce bon?

Citation
Ai-ce bon?"Est-ce bon" ?
Oui, mais inutile de développer les carrés : sur l'écriture f(x+1) =E(x)+1+(x-E(x))² , on voit immédiatement f(x) + 1.
Place sur un graphique les points M et M'. Tu verras alors comment on passe de M à M'.

Désolé pour l'énorme faute d'orthographe ^^
Quand je représente M et M' sur mon graphique je remarque que l'écart est également égal a 1. On peux donc déduire que E(x)+[x-E(x)]² ≤ M < M'

Citation
E(x)+[x-E(x)]² ≤ M < M'Ca ne veut rien dire : tu mélanges les nombres et les points.
Quand tu parles d'écart entre M et M', il faudrait préciser.
Tu dois dire par quelle transformation géométrique tu passes de M à M'.

Ah oui, merci ^^
on passe de M à M' par une translation de vecteur u (1,1)

Parfaitement.
Tu peux faire la suite.

Merci beaucoup pour toute votre aide

De rien.
N'hésite pas si tu as encore des questions.

Bonjour à tous les deux, j'ai exactement le même exercice à faire et je vous remercie dors et déjà puisque vous m'avez bien aidé Mais j'ai juste un petit souci : comment placer les points M et M' sur le graphique ? Je bloque pour la question 2 et 3. Pourriez s'il vous plait m'aider un peu ? Merci d'avance
Bises

Il faut commencer par tracer la courbe représentative de f sur [0;1[ : sur cet intervalle, que vaut E(x) ?
Que vaut alors f(x) ?
Puis, on décale cette portion de courbe sur tous les autres intervalles de R à l'aide de la translation dite.

D'accord je crois que j'ai compris. Merci beaucoup

De rien.