exercice sur nombre complexe


  • P

    soit p(x)=zde puissance 4 -3z³ + 9/2z²-3z+1.
    montrez que si z∈C est solution de l'équation E: p(z)=0alors conjuqué de z est egalement solution.
    2: verifiez que 1+i est solution de E. puis en deduire que P(z) se factorise sous la forme de produit de 2 polynome a coefficiant reel. pui resoudre E.

    sil vous plait aider moi je ne comprend pas la premiere question et la deuxieme. MERCI d'avance.


  • Zauctore

    Bonsoir

    Pour la première question, les coefficients ont entiers : tu peux donc prendre le conjugué de p(z) et l'application des règles sur le conjugué montrera que p(z)‾=p(z‾)\overline{p(z)} = p(\overline{z})p(z)=p(z).

    Ainsi si z est racine, alors p(z) = 0 impliquera que p(z barre) = 0 aussi.


  • P

    si je comprend bien il faut que je calcule le conjugué de z pour la premiere question. est ca? pour la deuxieme je pense qu'il faut calculer p(1+i)=0 mais apres je ne comprend pas. pouvez m'expliquer?


  • I

    Comme l'a indiqué Zauctore, pour la 1) tu calcules le conjugué de p(z) et tu aboutis progressivement à p(z barre) en utilisant les propriétés des conjugués :

    http://upload.wikimedia.org/math/0/f/c/0fc3782c687d31eab93ffb46c1b8c7dd.png

    http://upload.wikimedia.org/math/7/3/f/73f6f1d24d40475dea0a401b673f08f5.png

    http://upload.wikimedia.org/math/e/7/8/e78db2eab8e001b9e532db36b6041e2b.png n∈mathbbNmathbb{N}mathbbN

    (extrait de wikiversité)

    Pour la 2), tu calcules p(1+i)

    p(1+i) = (1+i)4(1+i)^4(1+i)4 - 3(1+i)³ + (9/2)(1+i)² - 3(1+i) + 1 = ...

    tu devrais trouver 0


  • P

    apres pour factoriser p je prend quoi alor?


  • I

    Si 1+i est solution de p(z)=0 alors p(z) peut se factoriser sous la forme :

    Edit : p(z) = [z-(1+i)] q(x)


  • P

    ok merci


  • P

    desole mais je n'y arrive pas.
    Pour le premier, je vois pas comment on calcule le conjugue de z. faut il remplacer z par a+bi.
    pour le 2 je ne trouve pas 0 avec 1+i mais je trouve p(1+i)=5-6i.
    apres pour le factoriser q(x) est un polynome du second degre ou pas.


  • P

    desole mais je n'y arrive pas.
    Pour le premier, je vois pas comment on calcule le conjugue de z. faut il remplacer z par a+bi.
    pour le 2 je ne trouve pas 0 avec 1+i mais je trouve p(1+i)=5-6i.
    apres pour le factoriser q(x) est un polynome du second degre ou pas.


  • P

    desole mais je n'y arrive pas.
    Pour le premier, je vois pas comment on calcule le conjugue de z. faut il remplacer z par a+bi.
    pour le 2 je ne trouve pas 0 avec 1+i mais je trouve p(1+i)=5-6i.
    apres pour le factoriser q(x) est un polynome du second degre ou pas.


  • I

    Iron
    Si 1+i est solution de p(z)=0 alors p(z) peut se factoriser sous la forme :

    p(z) = (1+i) q(x)

    C'est parce que je me suis trompé, je rectifie :

    Si 1+i est solution de p(z)=0 alors p(z) peut se factoriser sous la forme :

    p(z) = [z-(1+i)] q(x)

    Désolé !


  • I

    paulo69
    Pour le premier, je vois pas comment on calcule le conjugue de z. faut il remplacer z par a+bi
    Non, il faut laisser z


  • P

    donc pour le un je calcule le conjuque de p'z) mais je ny arive pas.


  • I

    p(z)ˉ=z4−3z3+92z2−3z+1ˉ=z4ˉ−3z3ˉ+92z2ˉ−3zˉ+1ˉ=...\bar{p(z)}=\bar{z^4 - 3z^3 + \frac{9}{2}z^2-3z+1} = \bar{z^4} - \bar{3z^3} + \bar{\frac{9}{2}z^2}-\bar{3z}+\bar{1} = ...p(z)ˉ=z43z3+29z23z+1ˉ=z4ˉ3z3ˉ+29z2ˉ3zˉ+1ˉ=...


  • P

    mais comment on sait le conjugue de 9/2z² sest egal a conbien et els autres aussi?


  • I

    Il faut utiliser les règles de calcul des conjugués :

    http://upload.wikimedia.org/math/0/f/c/0fc3782c687d31eab93ffb46c1b8c7dd.png

    http://upload.wikimedia.org/math/7/3/f/73f6f1d24d40475dea0a401b673f08f5.png

    http://upload.wikimedia.org/math/e/7/8/e78db2eab8e001b9e532db36b6041e2b.png n∈mathbbNmathbb{N}mathbbN


  • I

    p(z)ˉ=z4−3z3+92z2−3z+1ˉ=z4ˉ−3z3ˉ+92z2ˉ−3zˉ+1ˉ=zˉ4−3ˉz3ˉ+(92)ˉz2ˉ−3ˉzˉ+1ˉ=zˉ4−3zˉ3+92zˉ2−3zˉ+1=p(zˉ)\bar{p(z)}=\bar{z^4 - 3z^3 + \frac{9}{2}z^2-3z+1} = \bar{z^4} - \bar{3z^3} + \bar{\frac{9}{2}z^2}-\bar{3z}+\bar{1} = \bar{z}^4 - \bar{3}\bar{z^3} + \bar{(\frac{9}{2})}\bar{z^2}-\bar{3}\bar{z}+\bar{1} = \bar{z}^4 - 3\bar{z}^3 + \frac{9}{2}\bar{z}^2-3\bar{z}+1 = p(\bar{z})p(z)ˉ=z43z3+29z23z+1ˉ=z4ˉ3z3ˉ+29z2ˉ3zˉ+1ˉ=zˉ43ˉz3ˉ+(29)ˉz2ˉ3ˉzˉ+1ˉ=zˉ43zˉ3+29zˉ23zˉ+1=p(zˉ)

    Vérifie que je ne me suis pas trompé avec tous ces "barres" en latex


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