exercice sur nombre complexe



  • soit p(x)=zde puissance 4 -3z³ + 9/2z²-3z+1.
    montrez que si z∈C est solution de l'équation E: p(z)=0alors conjuqué de z est egalement solution.
    2: verifiez que 1+i est solution de E. puis en deduire que P(z) se factorise sous la forme de produit de 2 polynome a coefficiant reel. pui resoudre E.

    sil vous plait aider moi je ne comprend pas la premiere question et la deuxieme. MERCI d'avance.



  • Bonsoir

    Pour la première question, les coefficients ont entiers : tu peux donc prendre le conjugué de p(z) et l'application des règles sur le conjugué montrera que p(z)=p(z)\overline{p(z)} = p(\overline{z}).

    Ainsi si z est racine, alors p(z) = 0 impliquera que p(z barre) = 0 aussi.



  • si je comprend bien il faut que je calcule le conjugué de z pour la premiere question. est ca? pour la deuxieme je pense qu'il faut calculer p(1+i)=0 mais apres je ne comprend pas. pouvez m'expliquer?



  • Comme l'a indiqué Zauctore, pour la 1) tu calcules le conjugué de p(z) et tu aboutis progressivement à p(z barre) en utilisant les propriétés des conjugués :

    http://upload.wikimedia.org/math/0/f/c/0fc3782c687d31eab93ffb46c1b8c7dd.png

    http://upload.wikimedia.org/math/7/3/f/73f6f1d24d40475dea0a401b673f08f5.png

    http://upload.wikimedia.org/math/e/7/8/e78db2eab8e001b9e532db36b6041e2b.png n∈mathbbNmathbb{N}

    (extrait de wikiversité)

    Pour la 2), tu calcules p(1+i)

    p(1+i) = (1+i)4(1+i)^4 - 3(1+i)³ + (9/2)(1+i)² - 3(1+i) + 1 = ...

    tu devrais trouver 0



  • apres pour factoriser p je prend quoi alor?



  • Si 1+i est solution de p(z)=0 alors p(z) peut se factoriser sous la forme :

    Edit : p(z) = [z-(1+i)] q(x)



  • ok merci



  • desole mais je n'y arrive pas.
    Pour le premier, je vois pas comment on calcule le conjugue de z. faut il remplacer z par a+bi.
    pour le 2 je ne trouve pas 0 avec 1+i mais je trouve p(1+i)=5-6i.
    apres pour le factoriser q(x) est un polynome du second degre ou pas.



  • desole mais je n'y arrive pas.
    Pour le premier, je vois pas comment on calcule le conjugue de z. faut il remplacer z par a+bi.
    pour le 2 je ne trouve pas 0 avec 1+i mais je trouve p(1+i)=5-6i.
    apres pour le factoriser q(x) est un polynome du second degre ou pas.



  • desole mais je n'y arrive pas.
    Pour le premier, je vois pas comment on calcule le conjugue de z. faut il remplacer z par a+bi.
    pour le 2 je ne trouve pas 0 avec 1+i mais je trouve p(1+i)=5-6i.
    apres pour le factoriser q(x) est un polynome du second degre ou pas.



  • Iron
    Si 1+i est solution de p(z)=0 alors p(z) peut se factoriser sous la forme :

    p(z) = (1+i) q(x)

    C'est parce que je me suis trompé, je rectifie :

    Si 1+i est solution de p(z)=0 alors p(z) peut se factoriser sous la forme :

    p(z) = [z-(1+i)] q(x)

    Désolé !



  • paulo69
    Pour le premier, je vois pas comment on calcule le conjugue de z. faut il remplacer z par a+bi
    Non, il faut laisser z



  • donc pour le un je calcule le conjuque de p'z) mais je ny arive pas.



  • p(z)¯=z43z3+92z23z+1¯=z4¯3z3¯+92z2¯3z¯+1¯=...\bar{p(z)}=\bar{z^4 - 3z^3 + \frac{9}{2}z^2-3z+1} = \bar{z^4} - \bar{3z^3} + \bar{\frac{9}{2}z^2}-\bar{3z}+\bar{1} = ...



  • mais comment on sait le conjugue de 9/2z² sest egal a conbien et els autres aussi?



  • Il faut utiliser les règles de calcul des conjugués :

    http://upload.wikimedia.org/math/0/f/c/0fc3782c687d31eab93ffb46c1b8c7dd.png

    http://upload.wikimedia.org/math/7/3/f/73f6f1d24d40475dea0a401b673f08f5.png

    http://upload.wikimedia.org/math/e/7/8/e78db2eab8e001b9e532db36b6041e2b.png n∈mathbbNmathbb{N}



  • p(z)¯=z43z3+92z23z+1¯=z4¯3z3¯+92z2¯3z¯+1¯=z¯43¯z3¯+(92)¯z2¯3¯z¯+1¯=z¯43z¯3+92z¯23z¯+1=p(z¯)\bar{p(z)}=\bar{z^4 - 3z^3 + \frac{9}{2}z^2-3z+1} = \bar{z^4} - \bar{3z^3} + \bar{\frac{9}{2}z^2}-\bar{3z}+\bar{1} = \bar{z}^4 - \bar{3}\bar{z^3} + \bar{(\frac{9}{2})}\bar{z^2}-\bar{3}\bar{z}+\bar{1} = \bar{z}^4 - 3\bar{z}^3 + \frac{9}{2}\bar{z}^2-3\bar{z}+1 = p(\bar{z})

    Vérifie que je ne me suis pas trompé avec tous ces "barres" en latex


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