factorisation et division euclidienne des polynômes

Polynomes

I - Factorisation d’un polynome a l’aide de racines evidentes

On considere le polynome P(x) = x³ − 6x² + 11x − 6.

Veriﬁer que x = 1 est une racine ´evidente du polynome P.
Developper le produit (x − 1)(ax² + bx + c), determiner les reels a, b et c pour que
P(x) = (x − 1)(ax² + bx + c).
Factoriser P(x) sous la forme d’un produit de trois polynomes de degre 1.
En d´eduire les racines du polynˆome P.

Apres avoir trouve une racine ´evidente, d´eterminer les racines de chacun des polynomes suivants selon la methode precedente :

x³ + x² − 56x

x³ + x² + x − 3

4x³ − 24x² + 45x − 25

x³ + 2x² − 29x − 30

$x^4$ − 5x³ − 24x²

$x^4$ − 6x³ − 23x² + 132x − 140

II - Division euclidienne de polynômes

On considere les polynomes P1(x) = x−1 et P2(x) = x²+9x−5. On cherche des polynomesQ et R veriﬁant l'egalite P2(x) = P1(x) × Q(x) + R(x) avec R de degre inferieur Q.

Quels doivent-etre les degres des polynomes Q et R?
On pose Q(x) = ax + b et R(x) = c, developper l’expression (x − 1) × Q(x) + R(x), en deduire les r´eel a, b, et c pour que x² + 9x − 5 = (x − 1) × Q(x) + R(x).
Donner les polynomes Q et R cherches.

Les polynomes Q et R sont appel´es polynˆomes quotient et reste de la division euclidienne du polynome P2 par le polynome P1. Trouver dans chaque cas le quotient et le reste de la division euclidienne du polynome P2 par le polynome P1 :

P1(x) = x − 2 et P2(x) = x²− 3x + 4

P1(x) = x² − x + 2 et P2(x) = x³− 5x²− x + 7

P1(x) = x − 3 et P2(x) = x³− 3x²+ 2x − 5

Si quelqu'un pourrait m'aider pour:

Apres avoir trouve une racine ´evidente, d´eterminer les racines de chacun des polynomes suivants selon la methode precedente :

$x^4$ − 5x³ − 24x²

$x^4$ − 6x³ − 23x² + 132x − 140

et:

Trouver dans chaque cas le quotient et le reste de la division euclidienne du polynome P2 par le polynome P1 :

P1(x) = x²− x + 2 et P2(x) = x³− 5x²− x + 7

P1(x) = x − 3 et P2(x) = x³− 3x² + 2x − 5

(ce sont les seuls question que je n'ai pas reussi... Tout aide est la bienvenue merci! )

Bonsoir

Racines évidentes

Pour $x^4$ − 5x³ − 24x² 0 tu peux déjà factoriser par x² sans avoir besoin de la racine évidente.

Pour $x^4$ − 6x³ − 23x² + 132x − 140, tu as essayé avec la racine évidente 2 ?

Non je n'avais pas essayée avec 2 comme racine évidente, mais merci du conseil!

Pour x^4 − 5x³ − 24x² il n'y a qu'une racine n'est ce pas?

Avec la factorisation x²(x²-5x-24), est-ce que le discriminant de x²-5x-24 est négatif ?

Non il n'est pas négatif car pour ce trinome il existe une racine.
J'ai réussi à finir la 1ère partie il ne me reste plus que ceci à faire:

Trouver dans chaque cas le quotient et le reste de la division euclidienne du polynome P2 par le polynome P1 :

P1(x) = x²− x + 2 et P2(x) = x³− 5x²− x + 7

P1(x) = x − 3 et P2(x) = x³− 3x² + 2x − 5

En fait il ne me reste plus que ceci à faire:

Trouver dans chaque cas le quotient et le reste de la division euclidienne du polynome P2 par le polynome P1 :

P1(x) = x²− x + 2 et P2(x) = x³− 5x²− x + 7

Sachant que: P2(x) = P1(x) × Q(x) + R(x)

Help Please!! Merci d'avance!

Q(x) = x-4 et R(x) = -7x+15.