Démontrer la fonction Racine Carrée.

Bonjour à vous,

Est ce que quelqu'un pourrait m'aider à démontrer que la fonction racine carrée est croissante sur lR+

je procède de cette manière mais je la trouve assez compliquée et pas assez sûre parce que je me trompe toujours, et j'ai l'impression que l'on tourne en rond car on trouve au début que √a < √b et que a la fin on retrouve √a < √b :

0 < a < b
√a < √b
√a - √b < 0
c'est à partir d'ici que ça ce corse : (√a - √b) x (√a + √b) = a - b
donc on trouve : √a - √b = (a - b)/(√a + √b)
(a - b)/(√a + √b) < 0
et comme on sait que (a - b)/(√a + √b) = √a - √b
on remplace : √a - √b < 0
donc √a < √b

N'y a t'il pas un moyen moins compliqué pour démontrer ?

Merci d'avance. Rosaline.

Bonjour,
Calcule : (√a - √b)(√a + √b)

Tu l'as déjà fait :
(√a - √b)(√a + √b) = a - b
Quel est le signe de √a + √b ?

√a + √b > 0
car 0 < a < b et que les racines carrées sont toujours positives.

mais je ne comprend pas pourquoi il faut dire au début que √a < √b, si c'est pour en arriver à la même conclusion à la fin

Non : √a + √b > 0 car √a et √b le sont ( peu importe l'ordre de a et b ici ).
(√a - √b)(√a + √b) = a - b
et √a + √b > 0
alors que peut-on dire ses signes de a-b et de √a - √b ?
( C'est comme si on avait x.y = z, y positif, que peut-on dire des signes de x et z ? )

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a - b et √a - √b sont de même signes ?
si a < b alors a - b et √a - √b sont négatifs et si b < a alors a - b et √a - √b sont positifs ?
C'est bien ça ?

a - b et √a - √b sont de même signes, oui.
Donc, si a < b alors a-b négatif, donc √a - √b négatif, donc √a < √b.
En résumé, si a < b alors √a < √b : ça veut exactement dire que la fonction racine carrée est croissante sur R+

C'est d'accord pour leurs variations, peux tu me dire si cette démonstration est correcte s'il te plais ?

si 0 < a < b
alors √a < √b
alors √a - √b<0
(√a - √b)(√a + √b) = a - b
on remplace √a - √b <0 par (a - b)/(√a + √b) < 0
on sait que a - b <0 et que (√a + √b) > 0
donc √a - √b <0
Donc √a < √b

La fonction racine carrée est donc croissante sur lR+

Citation
si 0 < a < b
0 < ... est inutile dans la mesure où il est
obligatoireque a et b soient positifs( ou nuls ).
Mais naturellement, tu peux le rappeler par précaution.
Citation
si 0 < a < b
alors √a < √bQue cherches-tu à démontrer ?
C'est précisément cette implication qui t'est demandée non ?
De plus, tu tournes en rond puisque tu aboutis à
Citation
Donc √a < √b
Pour démontrer que la fonction racine carrée est croissante, on démarre ainsi :
si a < b ( étant entendu que a et b sont positifs ou nuls )
alors a-b < 0
Or a-b = (√a - √b)(√a + √b)
Et √a + √b est positif
Donc √a - √b est négatif : √a - √b < 0
Donc √a < √b
Terminé.

Merci beaucoup Mathtous j'ai compris

(+1) Très bon forum.

De rien.