Démontrer par récurrence qu'une suite est strictement positive


  • E

    Bonjour, voici mon exercice
    La suite (Un(U_n(Un) définie par U0U_0U0 =0 et pour tout n∈N,
    Un+1U_{n+1}Un+1 = (2Un(2U_n(2Un +3) / (Un(U_n(Un +4)

    Montrer par récurence que UnU_nUn > 0, pour tout n∈N*

    Voici ce que j'ai fait:
    Initialisation: Tout d'abord il faut montrer que P(1) est vrai.
    P(1): u1u_1u1 = (2U0(2U_0(2U0 +3) / (U0(U_0(U0 +4)
    U1U_1U1 = 3/4 donc U1U_1U1 >1
    donc P(1) est vrai
    Hérédité: Montrons ensuite que P(n+1): "Un+1U_{n+1}Un+1 = (2Un(2U_n(2Un +3) / (Un(U_n(Un +4) > 0 " est vrai, donc supposons que P(n) est vrai.

    Ensuite je n'arrive pas à continuer, je ne sais pas comment faire, pouvez vous m'aider svp.


  • Zauctore

    Bonsoir
    Citation
    Hérédité: Montrons ensuite que P(n+1): "Un+1U_{n+1}Un+1 = (2Un(2U_n(2Un +3) / (Un(U_n(Un +4) > 0 " est vrai, donc supposons que P(n) est vrai.
    C'est un peu confus sur le principe : on suppose que P(n) est vrai et on essaie de montrer que sous cette condition, alors P(n+1) est vraie à son tour.

    Supposons donc que UnU_nUn est positif strictement ; alors il est clair 2Un2U_n2Un +3 et UnU_nUn +4 sont strictement positifs tous deux, donc leur quotient aussi : Un+1U_{n+1}Un+1 est donc strictement positif.


  • E

    D'accord , c'était assez simple en faite.
    Merci beaucoup 😄


  • Zauctore

    hé oui !


Se connecter pour répondre