3. Montrer colinéarité et égalités de vecteurs

Montrer colinéarité et égalités de vecteurs

  • M

    Bonjour !
    J'ai un exercice a faire pour demain et j'aimerez que vous m'aidiez si possible...:)
    Exercice 1 :

    ABC est un triangle et O est le centre du cercle circonscrit. A' , B' et C' sont les milieux respectifs des côtés [BC], [AC] et [AB].
    On considère le point H défini par
    (vecteur)OH = (vecteur)OA + (vecteur)OB + (vecteur)OC

    1. Justifier que (vecteur)OB + (vecteur)OC = 2 (vecteur)OA'
    2. Déduisez de la relation [1] que (vecteur)AH = 2(vecteur)OA'
    3. Démontrer alors que les droites (AH) et (BC) sont perpendiculaires.
    4. De la même manière, démontrer que les droites (BH) et (AC) sont perpendiculaires.
    5. Que représente le point H pour le triangle ABC ?

    Soit G le centre de gravité du triangle ABC.

    1. En partant de l'égalité (vecteur)GA = -2(vecteur)GA' , démontrer que :
      3(vecteur)OG = (vecteur)OA + 2(vecteur)OA'
    2. En déduire que 3(vecteur)OG = (vecteur)OH ( on pourra s'aider de la relation [2]
    3. En déduire que O, G et H sont alignés lorsque le triangle ABC n'est pas équilatéral .
    4. Que peut-on dire des points O, G et H lorsque le triangle est équilatéral ?

    Voila , je ne suis pas sur d'avoir fais les bonne réponses :

    1))( je ne mettrais pas le mot vecteur )
    OB + OC = OA' + A'B + OA' + A'C
    sachant que A'B = -A'C
    OA' - A'C + OA' + A'C
    = 2OA'

    1. OH = OA + 2OA'
      OH - OA = 2OA'
      AO + OH = 2OA'
      AH = 2oa

    2. OA' est colinéaire a AH , ( AH ) // ( OA' ) , A' est le millieu de [BC] , O est le centre et ( OA') est la médiatrice de [BC]
      (OA') est perpendiculaire à (BC) et comme ( OA' ) // ( AM ) alors AH est perpendiculaire.

    3. OH = OA + OB + OC
      OB + BH = OA + OB + OC
      BH = OA + OC
      = OB + B'A + OB + B'C
      = 2 OB

    BH et OB' st colinéaires , aloors BH // OB'
    De plus OB' est la médiatrice de ( AC ) , comme O est le point d'intersection des médiatrices du triangle et que B' est le millieu de [AC]
    Donc ; ( OB') perpendiculaire a ( AC )
    et comme OB' // ( BH ) alors ( BH) perpendiculaire a ( AC )

    1. H ets le pt d'intersection des hauteurs du triangle , c'est l'orthocentre

    2. GA = -2GA'
      GO + OA = -2 ( GO + OA' )
      GO + OA = -2 GO - 2 OA'
      OA + 2OA'= -3GO
      OA + 2OA' = 3OG

    3. 3OG = OA + 2OA'
      3OG = OA + OB + OC
      3OG = OH

    4. vECTEUR OG colinéaire a OH donc les pt OG et H sont aligné

    9 ) Le triangle est équilatéral donc O = H = G

    Merrci a ceux qui prendront le temps de m'aider...

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