Sujet de bac : variations d'une fonction trigonométrique
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MMathilde:)) dernière édition par
Hello tout le monde !
Alors voilà je suis en train de faire une annale de Bac, sans corrigé je précise , et je rencontre quelques petits soucis. Commencons déjà par la première question :
On désigne par g la fonction numérique définie sur [0;Pi ]par :
g(x)=xcosx-sinx.
Etudier g et dresser son tableau de variations.
En déduire le signe de g(x) sur [0;Pi].Voilà .. je pense qu'il faut utiliser certaines connaissances en trigonométrie mais j'avoue que j'ai un peu de mal .. disons que je ne sais pas par quoi commencer ..
Quelqu'un pourrait-il me guider s'il vous plait ?
Merci d'avance
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Bonsoir
Commence par la dériver pour déterminer ses variations.
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MMathilde:)) dernière édition par
Merci de m'avoir repondu.
J'ai surement l'air pathétique mais ... même pour cette dérivée j'ai du mal. Je dois utiliser u'v+uv' non ?
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Mmathtous dernière édition par
Bonjour,
Oui, pour dériver xcos x.
Il ne faudra pas oublier le -sin x derrière.
Attention aux signes.
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MMathilde:)) dernière édition par
Bonjour,
Ok merci, donc je trouve :
On prend xcosx et sa dérivée c'est : cosx-sinx c'est ca ?
Et après je fais quoi avec g(x) ?
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Mmathtous dernière édition par
Ta dérivée est fausse.
g(x) = xcos x - sin x
g '(x) = 1.cosx +x.(-sin x) - cosx
Continue.Ensuite, le signe de g '(x) te donnera les variations de g.
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MMathilde:)) dernière édition par
Ah oui d'accord, alors les cosx s'éliminent, il me reste -sinx.x ce qui fait -sinx² non ? :s
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Mmathtous dernière édition par
Non : il reste -x.sin x, et le x devant ne peut évidemment pas " rentrer " dans le sinus. Le sinus n'est pas un produit !
Par contre , (-x).( sin x ) en est un.
Il faut donc, dans l'intervalle donné, connaître le signe de chaque facteur : facile.
Dans [0 ; π ], quel est le signe de (-x) ?
Dans [0 ; π ], quel est le signe de ( sin x ) ?
Et donc quel est le signe du produit ?
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MMathilde:)) dernière édition par
dans cet intervalle le signe de (-x) est négatif et celui de (sinx) est .. euh .. positif ? Donc le signe du produit est négatif ?
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Mmathtous dernière édition par
Oui, mais pas d'hésitation : entre 0 et π , le sinus est positif.
Pour t'en convaincre, trace un cercle trigonométrique : entre 0 et π, le point est " en haut " : au-dessus de l'axe des abscisses.g '(x) est donc négatif dans l'intervalle donné.
Alors comment est g ?
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MMathilde:)) dernière édition par
D'accord !!
alors g est décroissante sur [o;Pi] c'est bien ca ?
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Mmathtous dernière édition par
Oui.
Enfin, pour connaître son signe, calcule g(0) ( g pas g ' ).
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MMathilde:)) dernière édition par
Ok, alors g(0)= 0 ?
Et il faut pas faire g(Pi) aussi ?
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Mmathtous dernière édition par
Pas obligé : g(0) = 0, puis g est décroissante , alors quel est son signe ?
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MMathilde:)) dernière édition par
alors c'est son signe est négatif ?
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Mmathtous dernière édition par
Oui. g(x) est négatif sur l'intervalle .
Bien sûr tu peux vérifier ( mais ce n'est pas obligé pour répondre à cette question ) en calculant g(π) : on trouve - pi qui est bien négatif.
Je dois maintenant me déconnecter.
A+
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MMathilde:)) dernière édition par
D'accord merci pour tout en tout cas !!!
Si tu as le temps ces jours ci j'ai aussi une autre petite question qui me prend un peu la tête :s La voici :
Soit f la fonction numérique de la variable réelle x définie sur [0;Pi] par
x=0 f(o)=1
x ]0;Pi] f(x) = (sinx)/x
On rappelle que lim quand x 0 (sinx)/x=1J'aimerais déjà bien savoir comment ils peuvent affirmer cela ( On rappelle que lim quand x 0 (sinx)/x=1 ) .. Auriez vous une idée ? :s
Et je dois etudier les variations de f sur ]0;Pi] ?
Merci Bonne soirée
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MMathilde:)) dernière édition par
petite rectification pour la limite, c'est quand x TEND VERS 0
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Mmathtous dernière édition par
Re bonjour
Cette figure est celle d'un cercle trigonométrique de centre O et de rayon 1.
M est un point de ce cercle associé à l'angle x ( sa mesure modulo 2π ) , x est également la longueur de l'arc AM ( en vert ).
Pour une valeur de x tendant vers 0, on peut prendre x entre 0 et π/2.
On a alors sinx = MS, cos x = OS, et tan x = AT ( par définition géométrique des lignes trigonométriques , pour x positif ).
On observe que MS < arc AM < AT
C'est-à-dire : sin x < x < tan x
On divise tout par sin x ( positif non nul 1 < x/sin x < 1/cos x
Or, lorsque x tend vers 0, cos x tend vers 1 : il suffit alors d'appliquer la règle des " gendarmes " : x/sin x tend vers 1, et donc aussi son inverse (sin x)/x
Attention : ce raisonnement est valable pour x positif. Je te laisse le soin de l'adapter à x négatif.
Connaître cette limite est indispensable pour établir que la dérivée de sin x est cos x ( y compris en 0 ). La " vérification " qui consisterait à utiliser cette dérivée pour retrouver la limite serait donc un cercle vicieux.
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MMathilde:)) dernière édition par
Bonjour ! Merci beaucoup d'avoir pris du temps pour me répondre et pour m'expliquer tout ca .. Ca m'a beaucoup aidé !! Et j'ai (enfin) compris
J'en suis donc a déterminer la dérivée de (sinx)/x :
(cosx × x - sinx × 1)/x² = (cosx² - sinx)/x² et là .. je suis bloquée .. dois-je simplifier encore ou m'arrêter là ?
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Mmathtous dernière édition par
Re bonjour,
Citation
cosx × x1) N'utilise pas la croix pour la multiplication : on peut la confondre avec la lettre x
2) Tu écris ensuite que ça vaut cos x² !!! grave erreur ( déjà signalée ? )
Le cosinus n'est pas un produit, tu ne peux pas faire "rentrer" le "x" dedans.
Tu es obligée de laisser x.cos x
En résumé, ta dérivée pour x > 0 est (x.cos x - sin x)/x²
Tu ne peux pas faire mieux, mais tu dois étudier le signe du numérateur ( le dénominateur est toujours positif ).Je rajoute : ce numérateur c'est justement g(x) du début . Tu as déjà étudié son signe.
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MMathilde:)) dernière édition par
Oui c'est vrai, étourderie !! :s
D'accord ! alors vu que le signe de g(x) est négatif (cf question 1)), alors le signe de f(x) est négatif sur l'intervalle ]0;Pi] ! et du coup je comprends pourquoi le 0 est ici exclus : parce qu'on ne peut diviser par 0 ! C'est bien ca ?
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Mmathtous dernière édition par
Non.
g(x) est négatif , donc f est ???
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MMathilde:)) dernière édition par
positif ?
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Mmathtous dernière édition par
Non.
g(x) est négatif, donc f'(x) est négatif , donc f est décroissante sur ]0 ; +∞[
C'est le B.A. ba de l'étude des variations d'une fonction.
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MMathilde:)) dernière édition par
oui négatif, c'est ce que j'avais marqué au départ ^^
Merci !
Et il me reste une dernière question ..
je dois prouver que, pour tout nombre réel x ≥ 0 :
0≤x-sinx≤x³/6
(pour cela on veut que j'introduise la fonction Y(x)=sinx - x + x³/6 définie sur [0;+∞[, on calculera les dérivées Y', Y'' et Y''' et on en déduira le signe de Y)
Je ne sais pas trop par quoi commencer .. :s
Merci
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Mmathtous dernière édition par
Ne mélange pas tout.
f '(x) est négatif, donc f est décroissante. Ce qui ne te donne pas le signe de f(x) : calcule f(π) : si tu le trouves positif ou nul, tout va bien.Pour la question suivante, j'ai déjà répondu à clemence1347, sujet ( de TS ) : "Dérivée".
Evitez de poser le même sujet à plusieurs. Sinon, gare aux confusions, oublis, ...
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MMathilde:)) dernière édition par
D'accord merci !
Pour f ( Pi) je trouve : (sin Pi)/ Pi, donc ca fait 0 ?
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Mmathtous dernière édition par
Oui, Et puisque f est décroissante, elle est
positiveavant ce zéro.
D'ailleurs, on te donne f(0) = 1.
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MMathilde:)) dernière édition par
Ok, et là c'est fini ou bien il faut aussi qu'on dise comment elle est après le Pi ?
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Mmathtous dernière édition par
Citation
Soit f la fonction numérique de la variable réelle x définie
sur [0;Pi]par
x=0 f(o)=1
x ]0;Pi] f(x) = (sinx)/xDonc selon moi, l'étude de f est terminée.
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MMathilde:)) dernière édition par
Et bien merci beaucoup pour toute votre aide !!
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Mmathtous dernière édition par
De rien.
A+