Sujet de bac : variations d'une fonction trigonométrique

Hello tout le monde !
Alors voilà je suis en train de faire une annale de Bac, sans corrigé je précise , et je rencontre quelques petits soucis. Commencons déjà par la première question :
On désigne par g la fonction numérique définie sur [0;Pi ]par :
g(x)=xcosx-sinx.
Etudier g et dresser son tableau de variations.
En déduire le signe de g(x) sur [0;Pi].

Voilà .. je pense qu'il faut utiliser certaines connaissances en trigonométrie mais j'avoue que j'ai un peu de mal .. disons que je ne sais pas par quoi commencer ..

Quelqu'un pourrait-il me guider s'il vous plait ?
Merci d'avance

Bonsoir

Commence par la dériver pour déterminer ses variations.

Merci de m'avoir repondu.

J'ai surement l'air pathétique mais ... même pour cette dérivée j'ai du mal. Je dois utiliser u'v+uv' non ?

Bonjour,
Oui, pour dériver xcos x.
Il ne faudra pas oublier le -sin x derrière.
Attention aux signes.

Bonjour,
Ok merci, donc je trouve :
On prend xcosx et sa dérivée c'est : cosx-sinx c'est ca ?
Et après je fais quoi avec g(x) ?

Ta dérivée est fausse.
g(x) = xcos x - sin x
g '(x) = 1.cosx +x.(-sin x) - cosx
Continue.

Ensuite, le signe de g '(x) te donnera les variations de g.

Ah oui d'accord, alors les cosx s'éliminent, il me reste -sinx.x ce qui fait -sinx² non ? :s

Non : il reste -x.sin x, et le x devant ne peut évidemment pas " rentrer " dans le sinus. Le sinus n'est pas un produit !
Par contre , (-x).( sin x ) en est un.
Il faut donc, dans l'intervalle donné, connaître le signe de chaque facteur : facile.
Dans [0 ; π ], quel est le signe de (-x) ?
Dans [0 ; π ], quel est le signe de ( sin x ) ?
Et donc quel est le signe du produit ?

dans cet intervalle le signe de (-x) est négatif et celui de (sinx) est .. euh .. positif ? Donc le signe du produit est négatif ?

Oui, mais pas d'hésitation : entre 0 et π , le sinus est positif.
Pour t'en convaincre, trace un cercle trigonométrique : entre 0 et π, le point est " en haut " : au-dessus de l'axe des abscisses.

g '(x) est donc négatif dans l'intervalle donné.
Alors comment est g ?

D'accord !!
alors g est décroissante sur [o;Pi] c'est bien ca ?

Oui.
Enfin, pour connaître son signe, calcule g(0) ( g pas g ' ).

Ok, alors g(0)= 0 ?
Et il faut pas faire g(Pi) aussi ?

Pas obligé : g(0) = 0, puis g est décroissante , alors quel est son signe ?

alors c'est son signe est négatif ?

Oui. g(x) est négatif sur l'intervalle .
Bien sûr tu peux vérifier ( mais ce n'est pas obligé pour répondre à cette question ) en calculant g(π) : on trouve - pi qui est bien négatif.
Je dois maintenant me déconnecter.
A+

D'accord merci pour tout en tout cas !!!
Si tu as le temps ces jours ci j'ai aussi une autre petite question qui me prend un peu la tête :s La voici :
Soit f la fonction numérique de la variable réelle x définie sur [0;Pi] par
x=0 f(o)=1
x ]0;Pi] f(x) = (sinx)/x
On rappelle que lim quand x 0 (sinx)/x=1

J'aimerais déjà bien savoir comment ils peuvent affirmer cela ( On rappelle que lim quand x 0 (sinx)/x=1 ) .. Auriez vous une idée ? :s
Et je dois etudier les variations de f sur ]0;Pi] ?
Merci Bonne soirée

petite rectification pour la limite, c'est quand x TEND VERS 0

Re bonjour

$fichier math$
Cette figure est celle d'un cercle trigonométrique de centre O et de rayon 1.
M est un point de ce cercle associé à l'angle x ( sa mesure modulo 2π ) , x est également la longueur de l'arc AM ( en vert ).
Pour une valeur de x tendant vers 0, on peut prendre x entre 0 et π/2.
On a alors sinx = MS, cos x = OS, et tan x = AT ( par définition géométrique des lignes trigonométriques , pour x positif ).
On observe que MS < arc AM < AT
C'est-à-dire : sin x < x < tan x
On divise tout par sin x ( positif non nul 1 < x/sin x < 1/cos x
Or, lorsque x tend vers 0, cos x tend vers 1 : il suffit alors d'appliquer la règle des " gendarmes " : x/sin x tend vers 1, et donc aussi son inverse (sin x)/x
Attention : ce raisonnement est valable pour x positif. Je te laisse le soin de l'adapter à x négatif.
Connaître cette limite est indispensable pour établir que la dérivée de sin x est cos x ( y compris en 0 ). La " vérification " qui consisterait à utiliser cette dérivée pour retrouver la limite serait donc un cercle vicieux.

Bonjour ! Merci beaucoup d'avoir pris du temps pour me répondre et pour m'expliquer tout ca .. Ca m'a beaucoup aidé !! Et j'ai (enfin) compris
J'en suis donc a déterminer la dérivée de (sinx)/x :
(cosx × x - sinx × 1)/x² = (cosx² - sinx)/x² et là .. je suis bloquée .. dois-je simplifier encore ou m'arrêter là ?

Re bonjour,
Citation
cosx × x1) N'utilise pas la croix pour la multiplication : on peut la confondre avec la lettre x
2) Tu écris ensuite que ça vaut cos x² !!! grave erreur ( déjà signalée ? )
Le cosinus n'est pas un produit, tu ne peux pas faire "rentrer" le "x" dedans.
Tu es obligée de laisser x.cos x
En résumé, ta dérivée pour x > 0 est (x.cos x - sin x)/x²
Tu ne peux pas faire mieux, mais tu dois étudier le signe du numérateur ( le dénominateur est toujours positif ).

Je rajoute : ce numérateur c'est justement g(x) du début . Tu as déjà étudié son signe.

Oui c'est vrai, étourderie !! :s

D'accord ! alors vu que le signe de g(x) est négatif (cf question 1)), alors le signe de f(x) est négatif sur l'intervalle ]0;Pi] ! et du coup je comprends pourquoi le 0 est ici exclus : parce qu'on ne peut diviser par 0 ! C'est bien ca ?

Non.
g(x) est négatif , donc f est ???

positif ?

Non.
g(x) est négatif, donc f'(x) est négatif , donc f est décroissante sur ]0 ; +∞[
C'est le B.A. ba de l'étude des variations d'une fonction.

oui négatif, c'est ce que j'avais marqué au départ ^^
Merci !
Et il me reste une dernière question ..
je dois prouver que, pour tout nombre réel x ≥ 0 :
0≤x-sinx≤x³/6
(pour cela on veut que j'introduise la fonction Y(x)=sinx - x + x³/6 définie sur [0;+∞[, on calculera les dérivées Y', Y'' et Y''' et on en déduira le signe de Y)
Je ne sais pas trop par quoi commencer .. :s
Merci

Ne mélange pas tout.
f '(x) est négatif, donc f est décroissante. Ce qui ne te donne pas le signe de f(x) : calcule f(π) : si tu le trouves positif ou nul, tout va bien.

Pour la question suivante, j'ai déjà répondu à clemence1347, sujet ( de TS ) : "Dérivée".
Evitez de poser le même sujet à plusieurs. Sinon, gare aux confusions, oublis, ...

D'accord merci !
Pour f ( Pi) je trouve : (sin Pi)/ Pi, donc ca fait 0 ?

Oui, Et puisque f est décroissante, elle est
positiveavant ce zéro.
D'ailleurs, on te donne f(0) = 1.

Ok, et là c'est fini ou bien il faut aussi qu'on dise comment elle est après le Pi ?

Citation
Soit f la fonction numérique de la variable réelle x définie
sur [0;Pi]par
x=0 f(o)=1
x ]0;Pi] f(x) = (sinx)/xDonc selon moi, l'étude de f est terminée.

Et bien merci beaucoup pour toute votre aide !!

De rien.
A+