Exercice de TS spé maths sur les congruences et nombres premiers

Bonjour j'ai ce dm a faire et je bloque

1)Pour a=2 puis a=3 déterminer un entier naturel n non nul tel que a^n soit congru a 1 modulo 7
2)Soit a un entier naturel non divisible par 7
a)Montrer que a^6 est congru a 1 modulo 7 (on fera une disjonction de cas)
b)On appelle ordre de a modulo 7 le plus petit entier naturel non nul k tel que a^k soit congru a 1 modulo 7
Montrer que le reste de la division euclidienne de 6 par k vérifie: a^r congru a 1 modulo 7
En déduire que k divise 6
Quelles sont les valeurs possible de k
c)Donner l'ordre modulo 7 de tous les entiers a compris entre 2 et 6
3)A tout entier naturel n on associe le nombre: A indice n=2^n+3^n+4^n+5^n+6^n.
Montrer que A indice 2011 est congru a 6 modulo 7.

Merci d'avance.

Bonjour,
Quelles sont déjà tes réponses pour la question 1 ?
Pour la question 2, j'imagine que tu n'as pas vu le petit théorème de Fermat ?

Je n'ai pas trouver pour la 1) et non je n'ai pas vu ce petit théoreme

Pour a = 2, tu calcules $2^1$ modulo 7, 2² modulo 7, etc... jusqu'à ce que tu trouves 1: tu t'arrêtes alors.
Même chose ensuite pour a = 3.

d'accord merci et pour le 2 je n'ai pas vu ce théorème

Pour le théorème, ce n'est pas grave car c'est justement l'objectif du problème que de le faire découvrir dans un cas particulier.
Donne STP tes réponses pour la question 1 :
Pour a = 2 , n = ?
Pour a = 3, n = ??

Pour a =2 , n =1
Pour a=3 , n=6

Oui pour a= 3.
Mais pour a = 2 : $2^1$ = 2 et pas 1
$2^2$ = 4
$2^3$ = 8 ≡ 1 modulo 7 : terminé : n=3

Oui donc n=3 pour a =2 et 3

Non.
Pour a = 2, n=3
Pour a=3, n=6.

Pour le 2a j'ai trouvé que a^6 est congru a 1[7] seulement si a n'est pas multiple de 7 et j'ai étudier tous les cas de r=1 a r=6.

Pour le 2b) je pense qu'il faut écrire que a^k est congru a 1 modulo 7 en utilisant l'égalité de la division euclidienne de 6 par k. Mais après je ne sais pas quoi faire

6 = k.q + r, avec 0 ≤ r < 6
Donc $a^6$ = $a^{kq}$ . $a^r$
A quoi est congru $a^{kq}$ ?

Pour répondre je dirais congru a a^6/a^r

non je dirais plutôt congru a 0[6] donc k divise 6

Non.
N'oublie pas que k désigne l'ordre de a, donc que $a^k$ ≡ 1 modulo 7
Donc $a^{qk}$ aussi.
Et que vaut $a^6$ ?

Je dois maintenant me déconnecter.
A tantôt.

Non autant pour moi j'ai écrit n'importe quoi
a^6 congru à a^kq+r congru a (a^k)q x a^r congru a a^r[7]
Donc a^r congru a 1[7]

Bon, mais n'oublie pas deux choses :

0 ≤ r < k
k est le
plus petitentier non nul vérifiant $a^k$ ≡1 modulo 7

Or on a aussi $a^r$ ≡1 modulo 7
Donc ?