démontrer une formule avec des exposants

Bonjour,

je suis en ce moment bloqué sur une démonstration qui m'est demandée sur mon DM de maths.

On me demande de démontrer que pour a et b réels strictement positifs, r et r' rationnels (p/q=r , et p'/q'=r' avec q>0 et q'>0) :

a^r * a^r' = a^(r*r')

je ne sais comment faire

Pouvez vous me donner une piste ?

Merci

edit : merci de choisir des titres plus explicites

Bonjour,
Es-tu sûr de l'énoncé ?
Ne serait-ce pas a^r * a^r' = a^(r**+**r')

Si excusez moi c bien a^r * a^r' = a^(r+r').

Avez vous une piste a me conseillez ?

Et merci de la rapidité de votre réponce.

La formule ci-dessus est connue depuis longtemps pour des exposants entiers, mais ici on veut la démontrer pour des exposants rationnels.
Que vaut (a^p/q)^qq' ?

A t-on le droit d'utiliser la formule comme pour les entiers (a^n)^n' = a^(n*n') ?

Par définition, a étant un réel positif, (a^1/q)^q=a et a^p/q = (a^1/q)^p
Alors que vaut (a^p/q)^qq' ?

(a^p/q)^qq' = a^p/q'

Non.
Procède par étape :
(a^p/q)^q = a^p
donc (a^p/q)^qq' = a^pq'
Tu comprends ?

ah oui oui désolé j'ai fait une erreur

Bon.
(a^p/q)^qq' = a^pq'
Maintenant calcule (a^p'/q')^qq'

(a^p'/q')^qq' = a^p'q

Résumons :
(a^p/q)^qq' = a^pq'
(a^p'/q')^qq' = a^p'q
Effectue les produits des deux côtés:
[(a^p/q)^qq'][(a^p'/q')^qq']=[a^pq'][a^p'q]
Continue les calculs.

je crois avoir compris.

[(a^p/q)^qq'][(a^p'/q')^qq']=[a^pq'][a^p'q]=a^(pq'+p'q)

Si on fait [a^(p/p+p'/q')]^qq'=a^(pq'+p'q)

On retrouve la même chose donc l'égalité est démontré.

C'est ça ?

Presque. Tu vas trop vite.
Pour commencer, le membre de gauche n'est pas [a^(p/p+p'/q')]^qq'.

A droite, tu as calculé correctement [a^pq'][a^p'q]=a^(pq'+p'q)
Mais je souhaiterais que tu détailles le calcul du membre de gauche : on applique une autre formule : (x^n)(y^n) = ...
Ici : [(a^p/q)^qq'][(a^p'/q')^qq'] : x c'est (a^p/q), y c'est (a^p'/q'), et n c'est qq'.
Donc [(a^p/q)^qq'][(a^p'/q')^qq']= [(a^p/q)* .... continue

Donc [(a^p/q)^qq'][(a^p'/q')^qq']=[(a^p/q)*(a^p'/q')]^qq'

Oui.
On a donc : [(a^p/q)(a^p'/q')]^qq' = a^(pq'+p'q)
Maintenant tu appliques à nouveau la définition que je t'ai rappelée:
u^s = v^t ⇔ u =v^t/s, u et v étant positifs, s et t étant entiers.
[(a^p/q)(a^p'/q')]^qq' = a^(pq'+p'q) ⇔[(a^p/q)*(a^p'/q')] = ...

[(a^p/q)(a^p'/q')]^qq' = a^(pq'+p'q) ⇔[(a^p/q)(a^p'/q')] = a^((pq'+p'q)/qq') = a^(p/q+p'/q')

Merci beaucoup pour votre aide.

Donc il faut que je parte du membre de gauche pour retrouver celui de droite je peut pas calculer les deux séparement comme j'avais fait et dire que c'est égal.

On peut calculer les deux séparément, mais l'égalité doit être justifiée à un endroit ou à un autre.
On l'a justifiée ici :
Citation
Résumons :
(a^p/q)^qq' = a^pq'
(a^p'/q')^qq' = a^p'q
Effectue les produits des deux côtés:
[(a^p/q)^qq'][(a^p'/q')^qq']=[a^pq'][a^p'q]
En résumé : tant que les exposants sont entiers ( p, qq', ...) on applique les règles connues sur les puissances.
Dès que l'on doit passer à des exposants non entiers, on applique la définition ( sous différentes formes ) d'une puissance à exposant fractionnaire.

J'espère t'avoir aidé.
Je dois maintenant me déconnecter incessamment.
A+

Merci beaucoup de votre aide.

De rien.