Devoir maison de spécialité : divisibilité

Je n'arrive pas à conclure sur mon exercice. Pourriez-vous m'aider svp?

Enoncé: Le nombre n désigne un entier naturel.

Démontrer que n²+5n+a et n²+3n+2 sont divisibles par n+1.
Déterminer l'ensemble des valeurs de n pour lesquelles 3n²+15n+19 est divisible par n+1
3)En déduire que quel que soit l'entier naturel n, 3n²+15n+19 n'est pas divisible par n²+3n+2

Mon travail:

n²+5n+4 = (n+1)(n+4) et n²+3n+2 = (n+1)(n+2) ce qui prouve qu'ils sont tous deux divisibles par n+1
3n²+15n+19 = 3(n²+5n+4)+7
Or, n²+5n+4 ≡ 0 [n+1]
donc, 3(n²+5n+4)+7 ≡ 7 [n+1]
càd 3n²+15n+19 ≡ 7 [n+1]

Il faut donc trouver les valeurs de n pour 7 ≡ 0 [n+1]

Mon raisonnement est-il correct jusque là? Comment continuer?
Merci d'avance.

Bonjour,
Citation
Démontrer que n²+5n+a et n²+3n+2 sont divisibles par n+1.
C'est bien n²+5n+4 ? pas a ?
Dans ce cas ton raisonnement est juste.

n est un entier naturel ( positif ou nul )
7 ≡ 0 [n+1] signifie que 7 est un multiple de n+1. Il n'y a pas beaucoup de valeurs pour lesquelles c'est vrai : lesquelles ?

Oui oui c'est bien n²+5n+4. J'ai fait une erreur de frappe. Désolée.

Les valeurs pour lesquelles c'est possible sont: 0 et 6 ?

Oui.
Pour répondre à la question 3 :
regarde ce que valent 3n²+15n+19 et n²+3n+2
a) pour n = 0
b) pour n = 6
c) pour n≠0 et n≠6 , n²+3n+2 est multiple de n+1 mais ...

Euh.. j'ai réussi à raisonner pour le a) et b) mais je ne vois pas comment conclure pour le c) .
Je sais que n²+3n+2 est multiple de n+1 et 3n²+15n+19 ne l'est pas. Mais peut-on alors directement conclure?

Oui.
Si 3n²+15n+19 était un multiple de n²+3n+2 qui est un multiple de n+1, il serait aussi un multiple de n+1. Or ce n'est pas le cas si n≠0 et n≠6.
Donc 3n²+15n+19 n'est pas un multiple de n²+3n+2 ( raisonnement par l'absurde ).
Comme il ne l'est pas non plus pour n = 0 ni pour n = 6 , il ne l'est donc jamais.

Ah ben oui j'ai pas pensé à raisonner comme sa. Merci beaucoup!! Mon DM n'est pas encore terminé si j'ai de nouveau besoin d'aide je sais à qui je pourrais m'adresser ! Merciiiiii.

De rien.
A+

:rolling_eyes: J'ai de nouveau un petit soucis. Mais c'est simplement au niveau de la compréhension d'une question.
"Pour les valeurs entières de k telles que 0≤k≤6, calculer 10^k modulo 7"
Cela signifie que je dois dire:
0 ≡ 0 [7]
10 ≡ 3 [7]
10² ≡ 3² = 9 ≡ 2 [7]
10³ ≡ 3³ = 27 ≡ 6 [7]
et ainsi de suite ?

Citation
0 ≡ 0 [7]Non : c'est l'exposant ( k ) qui vaut 0 : $10^{0 }$ = 1 ≡ 1[7].

Et ainsi de suite ? oui et non. Poursuit les calculs encore un peu et tu verras ce que tu peux dire ensuite.

Ah oui mince! Ben, aprés on voit que c'est périodique. Enfin ça j'ai compris... de toute façon on me le demande à la question suivante. Je voulais juste savoir si j'avais bien compris la question.

Encore merci!

La période intervient ici à partir de $10^6$ ≡ 1[7]
Si tu connais le "petit théorème de Fermat", tu dois savoir pourquoi.

J'ai de nouveau un soucis ... cette fois dans un DM en enseignement obligatoire. Le but est de déterminer a, b et c.

On a f(x) = $ax+b)e^{cx}$

On m'a demandé de calculer la dérivée. Et en appliquant si f=u.v alors f'=u'v+uv' J'ai trouvé: f'(x) = $e^{cx}$ × (a+axc+bc)

On me demande alors d'écrire un système d'équation liant les trois inconnues, sachant que f'(0)=0,5 et f'(0,5)=-1

J'ai trouvé:
$e^0$ (a+bc) = 0,5
$e^{0,5c}$ (a+0,5ac+bc) = -1
⇔
a+bc = 0.5
$e^{0,5c}$ (0,5ac+0,5) = -1

Est-ce correct?
On me demande ensuite d'en déduire les couples (a,c) possibles... Je ne vois pas comment y parvenir. J'ai essayé cela mais sa n'aboutit à rien:

0,5ac+0,5 = $1-e^{0,5c}$
⇔ac+1 = $1-e^{0,5c}$ )÷(0,5)
⇔ac = $1-e^{0,5c}$ )÷(0,5)-1 = $2-2e^{0,5c}$ -1 = $2e^{0,5c}$ -3

C'est tout.

En pensant que mon livre avait peut-etre fait une erreur dans une des questions précédentes j'ai aussi la valeur: f'(1) = 1 mais en suivant le même raisonnement j'obtiens: ac = $e^{-c}$ -0,5
Peut etre que là je peux aboutir à quelque chose?

Re bonjour,
Désolé de n'avoir pas répondu hier : j'étais absent.
J'ai vu que tu as pu te faire aider par Noemi, mais il me vient un doute sur ton énoncé :
f '(0) = 0.5 et f '(0.5) = -1 : donc f ' s'annule entre 0 et 0.5
f '(0.5) = -1 et f '(1) = 1 : donc f ' s'annule entre 0.5 et 1
f' s'annule donc au moins deux fois.
Or, f '(x) = $e^{cx}$ [acx + bc + a ]
l'exponentielle ne s'annule pas et le crochet, du premier degré en x, ne peut s'annuler qu'une seule fois sauf si ac=0 et bc+a = 0.
Donc, ou bien il y a une erreur dans l'énoncé, ou bien tes a,b,c, vérifient :
ac = 0 et a+bc=0. Auquel cas les couples (a,c) sont évidents.