les nombres de mersenne - spé

bonjour!
j'aurai besoin d'un peu d'aide pour cet exercice :
les nombres de mersennes sont les nombre s premiers de la forme N = $2^p$ -1 , avec p naturel
a) pour a different de 1 et n entier au moins egal a 2, simplifier la somme : 1+ a +... $a^{n-1}$

b) montrer que, si $a^n$ -1 est un nombre premier, alors a=2 .
c) montrer que, si n est compose, alors $2^n$ -1 est compose.
d) montrer que, si p est premier, alors $2^p$ -1 est premier pour certaines valeurs de p, et compose pour d'autres valeurs.

Bonjour,
a est un
entiersupérieur à 1?

ce n est pas preciser, on sait seulement quil est different de 1

Bon, supposons quand même que c'est un entier naturel différent de 1.
S'il vaut 0, il n'y a pas grand chose à vérifier.
On peut donc supposer qu'il est supérieur à 1.

a) Calcule (1+a+a²+... $a^{n-1}$ )(a-1)

jai trouve que cette somme etait egale a : $1-a^n$ )/(1-a) car cest une suite geometrique

Oui.
Ecris plutôt $a^n$ -1)/(a-1)

b) Ce quotient étant entier, que peut-on dire de a-1 ?

d'accord
apres je mets que $a^n$ -1 est premier, donc l un des deux facteurs vaut 1, et donc que a-1=1 donc a=2

Non.
L'un des deux facteurs vaut 1 : oui.
Ce peut être a-1, auquel cas a=2 ( et pas 1 : faute de frappe ? )
Mais ce peut être aussi 1+a+a²+... $a^n$
Pourquoi n'est-ce pas possible ?

pas possible car ds ce cas a=0 ce qui est absurde

Sauf si a < 0... c'est pourquoi je pense qu'il faut supposer a entier > 1

a=0 donne $a^n$ - 1 = -1 qui n'est pas premier.

Question c : suppose que n est composé, donc que n = u.v où u et v sont entiers.
On peut procéder de plusieurs manières .
Une façon simple : les congruences.
$2^u$ ≡ 1 modulo $2^u$ -1
Donc ...

ce ne serait pas plutot ; $2^u$ ≡1modulo $2^n$ -1 ?

Non :
par définition : x≡0 modulo x
donc $2^u$ -1 ≡ 0 modulo $2^u$ -1
donc $2^u$ ≡ 1 modulo $2^u$ -1
Elève à la puissance v.

pourquoi on a $2^u$ et pqs $2^n$ ?

pas*

ok donc jai ; $2^{uv}$ ≡1 modulo $2^u$ -1

qu est quon peut en conclure? car cest modulo $2^u$ -1
et non pas modulo $2^v$ -1

mathous ne fait pas le lache stp, nous avons besoin de finir ce dm!!!!!

donc jai : $2^n$ ≡1 modulo $2^u$ -1
mais je ne sais pas quoi en conclure

sil vous plait...

Citation
mathous ne fait pas le lache stp, nous avons besoin de finir ce dm!!!!!Mathous intervient bénévolement sur ce forum.
Il se déconnecte lorsqu'il en a besoin.
Il lui arrive de se vexer ...

Citation
donc jai : $2^n$ ≡1 modulo $2^u$ -1
mais je ne sais pas quoi en conclure
$2^n$ ≡1 modulo $2^u$ -1
donc $2^n$ -1 ≡0 modulo $2^u$ -1
ça veut dire que $2^n$ -1 est un ...

d'accord. merci.
je reste tjs bloquée pour la derniere question..

Utilisons les réponses aux questions précédentes :
Tout d'abord si n est un composé alors $2^n$ -1 est composé
De plus un nombre composé est un nombre non premier
On peut donc utiliser les congruences.
On a précédemment montré que $2^n$ congru à $k*2^u$ -1
C'est à ce moment là que l'hypothèse primordiale suivante : k nécessairement différent de 1 nous conduit au raisonnement suivant :

p premier : p=2k ou p=2k+1 (ce sont les certaines valeurs)
Raisonnons par disjonction de cas :
-si p=2k, alors $2^{2k}$ -1 est divisible seulement par 1 et lui-même. Donc il est premier (pour certaines valeurs de p).
-si p=2k+1, $2^{2k+1}$ -1 = $2^{2K}$ *2+1 or $2^{2k}$ est premier d'où $2^{2k+1}$ -1 n'est pas premier, et a fortiori est composé (pour d'autres valeurs).

Voilà. Bon courage pour la copie, surtout qu'il est tard

merci beaucoup