les nombres de mersenne - spé
-
Iisoo dernière édition par
bonjour!
j'aurai besoin d'un peu d'aide pour cet exercice :
les nombres de mersennes sont les nombre s premiers de la forme N = 2p2^p2p -1 , avec p naturel
a) pour a different de 1 et n entier au moins egal a 2, simplifier la somme : 1+ a +...+an−1+a^{n-1}+an−1b) montrer que, si ana^nan -1 est un nombre premier, alors a=2 .
c) montrer que, si n est compose, alors 2n2^n2n-1 est compose.
d) montrer que, si p est premier, alors 2p2^p2p -1 est premier pour certaines valeurs de p, et compose pour d'autres valeurs.
-
Mmathtous dernière édition par
Bonjour,
a est un
entiersupérieur à 1?
-
Iisoo dernière édition par
ce n est pas preciser, on sait seulement quil est different de 1
-
Mmathtous dernière édition par
Bon, supposons quand même que c'est un entier naturel différent de 1.
S'il vaut 0, il n'y a pas grand chose à vérifier.
On peut donc supposer qu'il est supérieur à 1.a) Calcule (1+a+a²+...+an−1+a^{n-1}+an−1)(a-1)
-
Iisoo dernière édition par
jai trouve que cette somme etait egale a : (1−an(1-a^n(1−an)/(1-a) car cest une suite geometrique
-
Mmathtous dernière édition par
Oui.
Ecris plutôt (an(a^n(an-1)/(a-1)b) Ce quotient étant entier, que peut-on dire de a-1 ?
-
Iisoo dernière édition par
d'accord
apres je mets que ana^nan-1 est premier, donc l un des deux facteurs vaut 1, et donc que a-1=1 donc a=2
-
Mmathtous dernière édition par
Non.
L'un des deux facteurs vaut 1 : oui.
Ce peut être a-1, auquel cas a=2 ( et pas 1 : faute de frappe ? )
Mais ce peut être aussi 1+a+a²+... +an+a^n+an
Pourquoi n'est-ce pas possible ?
-
Iisoo dernière édition par
pas possible car ds ce cas a=0 ce qui est absurde
-
Mmathtous dernière édition par
Sauf si a < 0... c'est pourquoi je pense qu'il faut supposer a entier > 1
a=0 donne ana^nan - 1 = -1 qui n'est pas premier.
Question c : suppose que n est composé, donc que n = u.v où u et v sont entiers.
On peut procéder de plusieurs manières .
Une façon simple : les congruences.
2u2^u2u ≡ 1 modulo 2u2^u2u-1
Donc ...
-
Iisoo dernière édition par
ce ne serait pas plutot ; 2u2^u2u≡1modulo 2n2^n2n -1 ?
-
Mmathtous dernière édition par
Non :
par définition : x≡0 modulo x
donc 2u2^u2u-1 ≡ 0 modulo 2u2^u2u-1
donc 2u2^u2u ≡ 1 modulo 2u2^u2u-1
Elève à la puissance v.
-
Iisoo dernière édition par
pourquoi on a 2u2^u2u et pqs 2n2^n2n ?
-
Iisoo dernière édition par
pas*
-
Iisoo dernière édition par
ok donc jai ; 2uv2^{uv}2uv≡1 modulo 2u2^u2u -1
-
Iisoo dernière édition par
qu est quon peut en conclure? car cest modulo 2u2^u2u -1
et non pas modulo 2v2^v2v -1
-
Iisoo dernière édition par
mathous ne fait pas le lache stp, nous avons besoin de finir ce dm!!!!!
-
Iisoo dernière édition par
donc jai : 2n2^n2n≡1 modulo 2u2^u2u -1
mais je ne sais pas quoi en conclure
-
Iisoo dernière édition par
sil vous plait...
-
Mmathtous dernière édition par
Citation
mathous ne fait pas le lache stp, nous avons besoin de finir ce dm!!!!!Mathous intervient bénévolement sur ce forum.
Il se déconnecte lorsqu'il en a besoin.
Il lui arrive de se vexer ...Citation
donc jai : 2n2^n2n≡1 modulo 2u2^u2u -1
mais je ne sais pas quoi en conclure
2n2^n2n≡1 modulo 2u2^u2u -1
donc 2n2^n2n-1 ≡0 modulo 2u2^u2u -1
ça veut dire que 2n2^n2n-1 est un ...
-
Iisoo dernière édition par
d'accord. merci.
je reste tjs bloquée pour la derniere question..
-
SSajustifieRien dernière édition par
Utilisons les réponses aux questions précédentes :
Tout d'abord si n est un composé alors 2n2^n2n-1 est composé
De plus un nombre composé est un nombre non premier
On peut donc utiliser les congruences.
On a précédemment montré que 2n2^n2n congru à k∗2uk*2^uk∗2u-1
C'est à ce moment là que l'hypothèse primordiale suivante : k nécessairement différent de 1 nous conduit au raisonnement suivant :p premier : p=2k ou p=2k+1 (ce sont les certaines valeurs)
Raisonnons par disjonction de cas :
-si p=2k, alors 22k2^{2k}22k-1 est divisible seulement par 1 et lui-même. Donc il est premier (pour certaines valeurs de p).
-si p=2k+1, 22k+12^{2k+1}22k+1-1 = 22K2^{2K}22K*2+1 or 22k2^{2k}22k est premier d'où 22k+12^{2k+1}22k+1-1 n'est pas premier, et a fortiori est composé (pour d'autres valeurs).Voilà. Bon courage pour la copie, surtout qu'il est tard
-
Iisoo dernière édition par
merci beaucoup