exercice sur les nombres premiers



  • Bonjour,

    Voici l'énoncé :
    n désigne un entier naturel non nul.
    Le produit 123*...n est appelé la "factorielle de n" et est notée "n!".
    Par exemple 4! = 1
    234 = 24.

    1. b désigne un entier tel que 1 <= b <= 2007
      a. Démontrer que a = 2007! + b n'est pas un nombre premier.
      b. En déduire une liste de 2007 entiers consécutifs non premiers.
      2)Comment construire de même une liste de 3000 entiers consécutifs non premiers ?

    Pour le a. J'ai réussi à trouver a = b(12...*2007 +1) car b fait partie de la factorielle.
    Donc a divisible par b donc il n'est pas premier.
    Cependant dans le cas ou b=1 Je n'arrive pas à trouver comment démontrer qu'il n'est pas premier.

    Merci de votre aide



  • Bonjour,
    Après réflexion, je pense qu'il y a une erreur d'énoncé :
    Pour 1 < b ≤ 2007, a=2007!+b est effectivement composé, ce qui permet de trouver 2006 entiers consécutifs composés.
    Mais 2007!+1 peut être ou ne pas être premier. S'il l'est ( ce que j'ignore ) , ça s'appelle un nombre premier factoriel.
    Ainsi, 11!+1 est premier, mais 17!+1 ne l'est pas, ni 14!+1, etc ...
    Si tu veux exactement 2007 entiers consécutifs composés, tu peux recommencer le raisonnement avec 2008!+1

    Pour 3000!+1, par contre, je sais qu'il est composé : il s'agit du théorème de Wilson ( 3001 étant premier ) disponible dans un article de mon site ( clique sur le lien bleu ).


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