Suites de Nombres complexes

J'ai cet exercice à faire et je bloque sur la 1ere question pouvez-vous m'aider ?
On considère le cercle C de centre O et de rayon 1. A partir d'un point A0 de C, on construit A1 tel que le triangle OA0A1 soit direct, isocèle et rectangle en A1. En procédant de même, on construit successivement les points A2, A3, A4.....
On définit ainsi une suite de points (An) ou n est un entier naturel; pour chaque n, l'affixe du point An est noté Zn.

Montrer que l'affixe de $A_1$ est $z_1$ = [ (1+i) / 2 $z_0$
Pour tout n∈N: $z_{n+1}$ = $1+i)/2]z_0$
a. En deduire mod( $z_{n+1}$ ) en fonction mod $z_n$ )
b. Precisez la nature de la suite $mod(_n$ )) et en deduire: $mod(z_n$ ) = (1+i/√ $2)^n$
c.A partir de quel entier $n_0$ tous les ponts An appartiennent-ils au disque de centre 0 et de rayon 0.001 ?

Bonjour,
Citation
2) Pour tout n∈N: $z_{n+1}$ = $1+i)/2]z_0$ Ne serait-ce pas plutôt $z_{n+1}$ = $1+i)/2]z_n$ ?

Par quelle application géométrique passe-t-on de $z_n$ à $z_{n+1}$ ?
Cette application se traduit par la multiplication par un nombre complexe : lequel ?

Désolé, c'est $z_{n+1}$ = $1+i)/2]z_n$ .
On passe de $z_n$ à $z_{n+1}$ par la rotation de centre $z_{n+1}$ et d'angle $p i$ /2
Mais je ne vois pas par quelle multiplication par un nombre complexe, elle se traduit.

Non : fais un dessin.
On passe de $z_n$ à $z_{n+1}$ par une similitude de centre O, d'angle π/4, et de rapport √2/2 . Le dessin est absolument indispensable pour observer ce résultat.
Cette similitude revient à multiplier $z_n$ par un complexe ayant pour module √2/2 et pour argument π/4. Un nouveau dessin te montrera quel est ce complexe, mais compte tenu de l'énoncé tu dois bien le deviner.

Ah oui c'est vrai désolé.
Par contre je n'ai pas encore fait les arguments donc je ne sais pas ce que c'est.
J'ai été voir mon professeur et il m'a dit de me servir du fait que le triangle $O A$ _0 $A_1$ est isocéle rectangleet direct.
J'ai essayé de partir de ca m'ai je bloque encore, voici ce que j'ai fait:
$v e c t e u r (A$ _0 $A_1$ ) = $z_1$ - $z_0$
$vecteur(OA_1$ ) = $z_1$ -0 = $z_1$

Le triangle est rectangle donc, selon Pythagore,
OA0² = OA1² +A0A1²
mod(z0)² = mod(z1)² + mod(z1- z0)
mod(z1)² = mod(z0)² - mod ( z1-z0)²
mod(z1) = √( mod(zo)² - mod(z1-z0)² )

Le triangle est isolcele donc
A0A1 = 0A1
mod(z1-z0) = mod(z1)
mod(z1-z0) = √( mod(zo)² - mod(z1-z0)² )

Est-ce que je suis bien parti ?

Tu compliques.
OA0² = OA1² +A0A1²
et A0A1 = 0A1
donc OA0² = OA1² +0A1² = 2OA1²
Mais OA0 = 1, donc ...
donc OA1 = √2
Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé choisi de telle sorte que l'affixe de A0 soit 1, quelles sont donc les coordonnées de A1 ?
Si ce sont (1/2 ; √2/2) c'est que l'affixe de A1 est (1+i)/2
D'où la réponse à la question 1.

Pour la question 2, est-ce qu'on te donne le résultat $z_{n+1}$ = $1+i)/2]z_n$ ou est-ce qu'on te demande de la démontrer ?
Parce que si on te demande la démonstration, je ne vois pas comment se passer des arguments.
Ou alors recommencer le raisonnement permettant de passer de A0 à A1 mais en choisissant cette fois un repère associé à An et non plus à A0 : c'est peu rigoureux car on change d'unité.

D'accord, merci beaucoup.
Pour la question 2, on me donne le resultat $z_{n+1}$ = $1+i)/2]z_n$ , et on me demande de deduire le mod(Zn+1) en fonction de mod(Zn)
J'ai donc fait:
$mod(z_{n+1}$ ) = mod[(1+i)/2 × zn]
$mod(z_{n+1}$ ) = mod [ (1+i)/2] × mod(zn)
$mod(z_{n+1}$ ) = mod [1/2 + 1/2 i]× mod(zn)
$mod(z_{n+1}$ ) = √[(1/2)²+(1/2)²] × mod(zn)
$mod(z_{n+1}$ ) = (√2)/2 × mod(zn)

mod, c'est bien le module ?
Comme pour les valeurs absolues, il se note entre deux barres :
| $z_{n+1}$ | = (√2)/2| $z_n$ |, oui.

Citation
b. Precisez la nature de la suite (mod(n)) et en deduire: $mod(z_n$ ) = (1+i/√ $2)^n$ Es-tu sûr de l'énoncé ?
le module est un réel positif, alors que (1+i/√ $2)^n$ n'est pas réel, sauf pour certaines valeurs de n, et encore : ça dépend de A0.

Oui mod c'est bien le module, désole je n'ai pas trouvé le signe dana la barre d'outil pour le faire.
Non désolé je me suis encore trompé c'est |zn|= (1/√ $2)^n$

OK
Pour faire la barre verticale, tape ALTGR et la touche 6-| sur la ligne du haut du clavier, en dessous de la ligne des touches de fonctions.
Tu sais répondre à la question 2b) ?

Ah oui c'est vrai, je n'avais pas vu.
Oui j'ai trouvé que la suite était géométrique et de raison 1/√2
donc jobtient
| $z_{n+1}$ | = |z0| × (1/√ $2)^n$
| $z_{n+1}$ | = (1/√ $2)^n$

C'est juste.
Pour la c), cela revient à dire que le module doit être inférieur à 0.001
Tu sais comment procéder ?

Il faut que (1/√ $2)^n$ ≤ 0.001
On obtient cette valeur pour le rang 20?

A partir du rang 20, oui.
Comment as-tu obtenu 20 ?

En tapant à la calculatrice dans table, jai rentré la formule et regardé à partir de qu'elle rang le resultat était inferieur à 0.001

table ?
J'avoue être dépassé par les calculatrices actuelles.
Elles font tout à ta place ?

Oui dans l'option table, on ecrit la formule et elle calcule tous les résultats il n'y a plus qu'a regarder quand le resultat est inferieur à 0.001, du coup c'est assez rapide et facile.

Eh ben !
Moi j'en suis encore à prendre les logarithmes.
De toute façon on est obligé d'utiliser des valeurs approchées.
A+ si tu n'as plus de problème.

Ah oui avec la calulatrice c'est beaucoup plus facile. Non, merci beaucoup de m'avoir aidé

De rien.