3. Identification d'une fonction rationnelle

Identification d'une fonction rationnelle

  • V

    Bon voila je suis un 1ère S et j'ai voulu faire des exercices pour m'entraîner. Seulement la je suis tombé sur un os :(.

    En gros j'ai f(x) = (x-1)(x²+3x+3) / (x+1)²

    Je dois évidement trouver les réels a b et c pour tout réel x de I (parce que f(x) est définie sur ]-1 ; + l'infinie [ mais pour l'instant on s'en fou je crois.

    et ils donnent : f(x) = ax + (b / (x+1)) + (c / (x+1)²)

    J'ai bien lu ça : http://www.mathforu.com/cours-91.html
    Mais je n'y arrive toujours pas, le problème c'est que quand je développe la première forme pour la simplifier je trouve x^3 + 2x² -3 / (x+1)² donc y'a un carré à b et c'est pas bon ça non ?
    Et sinon en dévellopant la seconde forme ça donne ax(x+1)² + b(x+1) + c le tout divisé par (X+1)²

    Si quelqu'un pouvait me débloquer je serais vraiment soulagé j'en ai trop marre la ^^
    Merci.

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  • I

    Salut vince

    C'est normal que tu obtiennes des x³.

    à partir de
    f(x) = ax + (b / (x+1)) + (c / (x+1)²)

    tu mets tout au même dénominateur cad : (x+1)²

    f(x)=ax+bx+1+c(x+1)2=ax(x+1)2(x+1)2+b(x+1)(x+1)2+c(x+1)2=...f(x) = ax + \frac{b}{x+1}+\frac{c}{(x+1)^2}= \frac{ax(x+1)^2}{(x+1)^2} + \frac{b(x+1)}{(x+1)^2}+\frac{c}{(x+1)^2}=...f(x)=ax+x+1b​+(x+1)2c​=(x+1)2ax(x+1)2​+(x+1)2b(x+1)​+(x+1)2c​=...

    Pour f(x) = (x-1)(x²+3x+3) / (x+1)²

    tu développes le numérateur et tu laisses le dénominateur (x+1)²

    à partir des deux expressions, tu identifies membre à membre les numérateurs pour trouver les valeurs de a, b et c.

    V 1 réponse
  • V

    Merci pour ta réponse mais ce que je ne comprends pas c'est que en développant :

    f(x) + ax + b / x+1 + c / (x+1)²
    je trouve au final : ax^3 + 2ax² + ax + bx + b + c
    en forme complètement développée.

    J'ai beau chercher je vois pas comment je peut identifier les membres les formes sont vraiment différentes.

    Parce que à l'autre je trouve x^3 + 2x² - 3

    C'est normal de trouver un carré a b ? Normalement c'est un X tout court non ?

    PS: J'ai enlevé les dénominateurs (x+1)² vu que ils ne sont pas importants dans cette question.

    I 1 réponse
  • I

    C'est correct.

    Je réduits ta première expression :

    f(x) = [ ax³ + 2ax² + (a+b)x + (b+c) ] / (x+1)²

    Pour la seconde :

    f(x) = [ x³ + 2x² - 3 ] / (x+1)²

    Par identification, tu obtiens le système :

    | a = 1
    | 2a = 2
    | a+b = 0
    | b+c = -3

    ce qui te permet de trouver les valeurs de a,b et c

    V 1 réponse
  • V

    Merci beaucoup j'ai retrouvé mon erreur.
    Dans ma tête a + b = 2 et pas 0 du coup bah forcément ça ne marchait pas.
    Merci pour tout 🙂

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