Notations mathématiques

Bonsoir, est ce que quelqu'un pourrait m'expliquer la différence entre :

Donc
Si est seulement si (⇔)
Et dans quel cas les utiliser ?

Je ne sais jamais quand utiliser l'un ou l'autre
Pouvez vous m'éclaircir sur ce sujet.

Merci beaucoup. R.

Bonjour,
Un exemple :
x est un nombre réel.
Si x > 8, alors x > 2.
C'est une implication : (x > ⇒ (x > 2)
Si dans un problème tu sais que x > 8 ( selon l'énoncé ) , tu peux en déduire que
x > 2
Tu écris :
x > 8 donc x > 2.

Mais les deux propriétés ne sont pas équivalentes : car x > 2 n'implique pas nécessairement x > 8 : ainsi, 5 > 2 mais 5 n'est pas supérieur à 8.

Autre exemple : x et y sont deux nombres réels.
( x > y ) ⇔ ( y < x) : cette fois les deux propriétés sont équivalentes. Dans la pratique, les équivalences sont plus "puissantes" que les simples implications qui ne marchent que dans un sens.
Pour résoudre une équation, il faut s'efforcer de procéder par équivalences.
Si on n'y parvient pas, on est obligé de tester les solutions possibles.

C'est à dire que ''donc'' n'a qu'une direction alors que les équivalences sont à ''double sens'' ?

Pouvez-vous me donner quelques exercices afin de voir si j'ai bien compris s'il vous plait ?

Merci beaucoup en tout cas. R.

Résous les équations :
a) (√(x-1))² = 2
b) √((x-1)²) = 2
Compare les résultats ( attention à l'ordre des parenthèses ).
Procède par équivalences ( si tu peux ).

Si ça t'intéresse, tu peux lire ceci :

Réflexions sur la logique formelle

a)
(√(x-1))² = 2
⇔ x-1 =2
⇔ x = 2+1
⇔ x = 3
Donc S={3}

b)
√((x-1)²) = 2
⇔ √(x² - 2x + 1) = 2
⇔ √(-2x) + x + 1 = 2
⇔ √(-2x) = - x + 1
⇔ -2x = x² - 2x + 1
⇔ x² + 1 = 0
⇔ x = √1 ou x = - √1
Donc S={- √1; √1}

Cette façon de rédiger est-elle convenable ? On m'a dit qu'il fallait que je rédige mieux

Merci pour votre aide Mathous.

a) C'est presque ça, mais l'équivalence doit tenir compte du fait que x-1 est sous le radical :
(√(x-1))² = 2
⇔ x-1=2 ET x ≥ 1
...
⇔ x = 3 et x ≥ 1
⇔ x = 3 ( car 3 ≥ 1 )
...
b) En revanche, c'est un carré qui est sous le radical et un carré est toujours positif ou nul, donc pas de condition supplémentaire.
Par contre les calculs sont faux.
√((x-1)²) = 2
⇔ |x-1| = 2 car √(a²) = |a| exemple : √(-3)² = √9 = 3 qui est bien la valeur absolue de -3
⇔ x-1 = 2 OU -x+1 = 2 car |a| = a ou -a selon le signe de a
...
ce qui va te fournir deux solutions 3 et -1