pblèmes sur les suites (dm de maths assez long et très difficile...) Merci d'avance!



  • Exo 1 :
    La suite (un) définie pr tt n des entiers naturels (N) par :

    U(zéro)= ½.
    U(n+1)=Un² + 1/8.

    Montrer que cette suite est positive et décroissante. En déduire qu’elle converge.

    Exo2 :
    On a étudié le nbre de bactéries du type coliforme ds 1 litre d’une culture liquide qui en contenait au départ 150. On a constaté que, chaque minute, le nbre de bactéries était approximativement multiplié par le facteur 1,035 ; mais que, à chaque minute, une bactérie était détruite.

    A) Si l’on désigne par Un le nbre de bactéries vivantes présentes au bout de n minutes, exprimer Un+1 en fction de Un.
    B) On pose Vn=Un – (1/0.035).
    Montrer qu’il s’agit d’une suite géométrique dt on calculera le terme général.
    En déduire l’expression de Un en fction de n.
    Quel est le nbre de bactéries vivantes au bout de 20 minutes ?
    C) On améliore l’étude en faisant en sorte qu’aucune bactérie ne meure au cours de l’expérience. Soit Wn le nbre de bactéries présentes au bout de n minutes.
    Exprimer Wn en fction de n et calculer le nbre de bactéries vivantes au bout de 20 minutes.
    Combien de bactéries ont-elles ainsi été sauvées ?

    Exo 3 :
    On suppose que, sur une période donnée, la population d’un pays est constante et égale à 60 millions d’habitants, dont 40 millions vivent en campagne et 20 millions en ville.
    On constate que les mouvements de la population sont décrits par la régle suivante : chaque année, 20% des campagnards émigrent à la ville et 10% des citadins émigrent à la campagne.
    On note respectivement Vn et Rn les effectifs (en millions) des citadins et des campagnards au bout de n années (V(0)=20 & R(0)=40).

    1- Montrer que , pr tt n supérieur ou égal à 0, on a :

    V(n+1)= 0.9 Vn + 0.2Rn
    R(n+1)= 0.1Vn + 0.8Rn

    2- Que vaut Vn + Rn?
    En déduire que les suites (Vn) et (Rn) satisfont à :
    V(n+1)= 0.7Vn et R(n+1)=0.7 Rn + 6.

    3-Exprimer Rn et Vn en fction de n et étudier les limites des suites (Rn) et (Vn). Conclusion ?

    Exo 4 : Récurrence double.
    On considère la suite (Un) avec n appartient au entiers naturels (N) définie, pr tt n supérieur ou égal à 1, par :
    U(0)= 0, U(1)= 1 et U(n+1)= 7 Un + 8 U(n-1).
    1-Montrer que la suite (Sn) pr n appartient au entiers naturels (N) définie par:
    Sn= U(n+1)+ Un est une suite géométrique.
    En déduire Sn en fonction de n.

    2-On pose Vn= (((-1)puissance n )(Un)) et on considère la suite (Tn) n appartient aux N (entiers naturels) définie par Tn= V(n+1) – Vn .
    Exprimer Tn en fction de Sn.

    3-Exprimer Vn, puis Un, en fction de n (on pourra calculer, de deux manières, la somme T(0)+……+T (n-1).

    Déterminer lim ((Un)/(8 puissance n)) pr n tend vers + l’infini.



  • C'est à première vue, au moins pour les premiers exercices (je n'ai pas tout lu ce pavet indigeste), une question directe d'application du cours de première.

    Relis tes cours et les exercices faits en classe; fais un petit effort et dis nous ce que tu ne sais pas faire.



  • je dirai même plus ...
    lis attentivement ces recommandations , et tiens en compte !


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