Cauchy



  • Soit (Un(U_n)n≥1 une suite décroissante de réels positifs. On se propose d'établir que les séries de termes général (Un(U_n) et(2et(2^nU2nU_{2n}) ont même nature.
    a)
    Montrer que, pour tout k∈N
    22^kU2k+1U_{2k+1}UU{2k}+U</em>2k+1+U</em>{2k+1}+...+U2k+11+U_{2k+1-1}22^kU2kU_{2k}

    b)on désigne par (Sn(S_n) et (Tn(T_n) les sommes partielles de rang n des sériess de terme général (Un(U_n) et (2(2^nU2nU_{2n}). Déduire de ce qui précéde que, pour tout n≥1,
    1/2(Tn+11/2(T_{n+1}-U1)≤S2n+11S_{2n+1-1}TnT_n

    Conclure.

    Je n'arrive pas a faire cette exercice, est-ce que quelqu'un peut m'aider??


  • Modérateurs

    Salut stella,

    Pour le premier, ça utilise simplement la décroissance, tu peux comparer chaque terme de la somme à U2k+1U_{2k+1} et à U2kU_{2k} puis additionner.



  • Pour le 1) j'ai fait:
    on sait que (Un) est décroissante
    donc U1U_1U2U_2U3U_3....
    donc U2k+1U_{2k+1}U2kU_{2k}

    la somme de k=0 à l'infini de U2kU_{2k}= UU_1+2U+2U_2+4U+4U_4+8U8+8U_8+...

    la somme de k=0 à l'infini de U2k+1U_{2k+1}= UU_2+2U+2U_4+4U+4U8+8U</em>16+8U</em>{16}+..

    UU{2k}+U</em>2k+1+U</em>{2k+1}+...+U2k+11+U_{2k+1-1}
    c'est la somme de je sais pas

    déjà est-ce que le début est bon?? ensuite que doit t-on faire???


  • Modérateurs

    Essaie de poster ce que tu as fait dès le premier message, ça simplifie...

    Alors je suis d'accord pour U2k+1U_{2k+1} < U2kU_{2k} mais n'y a-t-il pas des termes entre les deux ? Quels termes ?

    Pour les deux sommes, tu as oublié les 2k2^k, mais ça n'est pas la bonne piste, même si ça te permet de te rendre compte de quoi on parle.

    Hésite pas à reprendre le conseil de mon dernier message 😉

    Ton dernier exo c'était bien passé d'ailleurs ?



  • Mon dernier exercice c bien passer merci

    Je crois que j'ai compris, enfin peut-être:

    on compar chaque terme de la somme à U2kU_{2k} et U2k+1U_{2k+1}

    donc U2k+1U_{2k+1}U2kU_{2k} et U2kU_{2k}U2kU_{2k}
    donc U2k+1U_{2k+1}U2k+1U_{2k+1} et U2k+1U_{2k+1}U2kU_{2k}
    donc U2k+1U_{2k+1}U2k+2U_{2k+2} et U2k+2U_{2k+2}U2kU_{2k}
    etc...
    donc U2k+1U_{2k+1}U2k+11U_{2k+1-1} et U2k+11U_{2k+1-1}U2kU_{2k}

    or il y a 2n2^n termes donc en additionnant chaque terme
    on obtient:
    22^nU2k+1U_{2k+1}UU{2k}+U</em>2k+1+U</em>{2k+1}+...+U2k+11+U_{2k+1-1}22^kU2kU_{2k}

    C'est bien cela???


  • Modérateurs

    Oui c'est ça ! enfin c'est 2k2^k termes... Il n'y a pas de n dans cette question de toute façon...

    Pour la question 2, essaie d'écrire TnT_n, Tn+1T_{n+1} et S2n1S_{2n-1} avec des points de suspension pour mieux voir ce que c'est et essaie de voir comment tu pourrais relier ça au résultat de la 1ère question.



  • A oui c k que je voulais mettre pas n excuse moi.
    alors
    TT_n=U=U_1+U+U2+U3+U_3+...+Un+U_n
    TT
    {n+1}=U=U2+U3+U_3+...+U</em>n+1+U</em>{n+1}
    et SS_n=2U=2U2+4U+4U4+8U+8U8+16U</em>16+16U</em>{16}+....+2+2^nU</em>2nU</em>{2n}
    SS
    {2n-1}=3U=3U3+7U7+7U_7+...+ $2^{2n-1 $}U</em>22n1U</em>{22n-1}

    c'est bien cela???


  • Modérateurs

    Non c'est le contraire... SnS_n est la somme des UnU_n et TnT_n celle des 22^nU2nU_{2n}



  • ok mais sinon c bien???


  • Modérateurs

    oui mais T2n1T_{2n-1} est bien différent de S2n1S_{2n-1}, ce n'est pas qu'un problème de notation !



  • SS_n=U=U_1+U+U2+U3+U_3+...+Un+U_n
    SS
    {n+1}=U=U2+U3+U_3+...+U</em>n+1+U</em>{n+1}
    et TT_n=2U=2U_2+4U+4U4+8U+8U8+16U</em>16+16U</em>{16}+....+2+2^nU</em>2nU</em>{2n}

    TT_{2n-1}=3U=3U3+7U7+7U_7+...+ $2^{2n-1 $}U</em>22n1U</em>{22n-1}

    TT_{n+1}=4U=4U_3+8U+8U5+16U+16U7+32U</em>15+32U</em>{15}+....+2+2^{n+1}U</em>2n+1U</em>{2n+1}

    1/2(Tn+1U1)=1/2(U1)+2U1/2(Tn+1-U1)=1/2(-U1)+2U_3+4U+4U5+8U+8U7+16U</em>15+16U</em>{15}+....+2+2^nU</em>2n+1U</em>{2n+1}

    SS_{2n+1-1}=U=U3+U7+U_7+...+U</em>2n+11+U</em>{2n+1-1}

    c bon???


  • Modérateurs

    Je ne suis pas d'accord pour les lignes avec TnT_n, mais l'important c'est surtout de voir le lien avec la première question !



  • justement le probleme c'est que je ne voit pas le lien entre tout ces termes


  • Modérateurs

    On te demande de démontrer quelque chose de la même forme qu'à la première question. Pour essayer de trouver un lien il faut essayer de comparer les différentes valeurs de l'encadrement :
    Que représente TnT_n par rapport à 22^kU2kU_{2k} ? Que représente 1/2(T1/2(T{n+1}U1-U_1) par rapport à 22^kU</em>2k+1U</em>{2k+1} ?



  • TnT_n c'est la somme de k=0 à n de 22^kU2kU_{2k} donc 22^kU2kU_{2k} est le dernier terme de TnT_n
    donc TnT_n22^kU2kU_{2k}

    Tn+1T_{n+1} c'est la somme de k=0 à n+1 de 22^{k+1}U2k+1U_{2k+1} donc
    Tn+1T_{n+1}22^kU2k+1U_{2k+1}

    c bon???


  • Modérateurs

    Oui mais c'est peut-être un peu réducteur de ne s'intéresser qu'au dernier terme... Pour chaque terme de cette somme tu peux écrire le résultat de la première question... Qu'est-ce que tu en tires ?



  • (2(2^{k+1}U2k+1U_{2k+1})/2≤2n+12^{n+1}-1≤22^kU2kU_{2k}
    ceci est verifier car Un est décroissante, est c'est valable pour tout n
    Si l'on fait la somme pour chaque terme, on a donc
    (T(T{n+1}U1-U_1)/2≤S(2n+1S(2^{n+1}-1)≤TnT_n
    c'est bon???
    aprés je sais pas comment montrer le TT
    {n+1}U1-U_1 et pourquoi on divise par 2



  • c bien cela???


  • Modérateurs

    Désolé j'ai eu un peu de boulot...

    Tu vas un peu vite, dans ta première ligne, tu n'as pas de UkU_k au milieu, ce qui n'est pas normal... Et tu as des n qui se baladent...
    Tu n'expliques pas assez comment on passe d'une des inégalités à l'autre, effectivement on somme, mais pour k variant de combien à combien ? Est-ce que l'on retrouve bien exactement TnT_n, S2n+11S_{2n+1-1} et Tn+1T_{n+1} ?

    Essaie d'être plus rigoureuse dans ce que tu écris, ici on a trop l'impression que tu écris :
    Résultat de la question 1, donc résultat de la question 2...
    Et vu que la question est "déduire" c'est un peu léger... Ce que l'on attend de toi sur une question comme cela est que tu expliques bien la démarche !



  • Tu as donc u : N* → R+* , décroissante et on pose ,pour tout entier n ≥0 :
    ..v(n) = 22^nu(2nu(2^n) ,
    ..S(n) = somme 0≤k≤n u(k) = u(0)+.....+u(n)
    ..T(n) = somme 0≤k≤n v(k) = v(0)+.....+v(n)

    Ensuite on pose , pour tout k∈N , J(k) = { j∈N | 2k2^k≤ j < 2k+12^{k+1}} .( Par exemples : J(0) = {1} , J(1) = {2,3} , J(2) = {4,5,6,7} , J(3) = {8,9,10,11,12,13,14,15} ,....etc...) et w(k) = somme de j∈J(k) u(j)
    ..La décroissance de u entraine que pour tout entier k on a : v(k+1)/2 ≤ w(k) ≤ v(k) . .
    ..on considère alors un entier n et S(2n+1S(2^{n+1} - 1) qui vaut w(0)+.....+ w(n) et on utilises les inégalités démontrées pour voir que (T(n+1) - u(1))/2≤ S(2n+1-1) ≤T(n).

    c bon comme sa??

    Conclusion:
    Les suites S et T sont croissantes .
    Si T est convergente (vers Sup(T) noté somme u ) elle est majorée donc S l'est aussi donc converge vers Sup(S) =somme v et somme v ≤ somme u .
    par contre comment faire la réciproque????


  • Modérateurs

    Eh beh, pour du détail c'est du détail ! Il y en a même peut-être un peu trop du coup (beaucoup de notations introduites, c'est dur à suivre) mais c'est bien ça montre que tu as compris et tout est dit !
    Pour la conclusion, je suis d'accord, pour l'autre sens, si S est convergente, alors T qui est une série à termes positifs est majorée par 2*S+U1 (car S est à termes positifs aussi), donc T est convergente (suite croissante majorée)...
    C'est bien sûr les mêmes principes pour les cas de divergence... (une suite croissante ne peut diverger que vers +∞)



  • ok merci ensuite il y a la suite de l'exercice

    pour n1, soient a>0 b>0
    UU_n=1/na=1/n^a et VnV_n=1/(n(ln n)bn)^b)

    Retrouver la condition de convergence de la serie de terme général (Un). A quelle condition la serie de terme général (Vn) converge t'elle?

    je n'arrive pas cette question??


  • Modérateurs

    Il faut que tu utilises ce que tu as démontré juste avant, c'est-à-dire que la série de terme UnU_n est de même nature que la série de terme général 22^nU2nU_{2n} si UnU_n est décroissante à termes positifs.

    Est-ce bien applicable à UnU_n et VnV_n ? Si oui quelles sont les suites 22^nU2nU_{2n} et 22^nV2nV_{2n}, quelles sont leur nature en fonction de a et b ?



  • Alors Un est décroissante car elle tend vers 0 car n→∞ ∀a>0
    donc Un+1U_{n+1}UnU_n

    ln n →∞ pour n→∞
    (ln n)bn)^b →∞ pour n→∞
    n(ln n)bn)^b→∞ pour n→∞
    donc Vn est décroissante car lim Vn →∞=0
    donc c'est applicable a Un et Vn
    22^nU2nU_{2n}=
    22^n/(2/(2^n))^a=2=2^n/2/2^{an}=2nan=2^{n-an}
    pour a=1 c'est une fonction constante, pour a>1 c'est une fonction décroissante

    22^nVV_{2n}=2=2^n/(2n/(2^n(ln 22^n)b)^b)
    après je sais pas comment le simplifier???
    sinon c bien sa?
    on fait quoi après???


  • Modérateurs

    Attention, décroissante ne signifie pas que la suite tend vers 0, ce sont deux choses distinctes...
    Pour la première, c'est une suite, non une fonction, il faut surtout remarquer qu'elle est géométrique...
    Pour la deuxième, il y a quand même des simplifications qui sautent aux yeux ! La simplification par 2n2^n et puis que vaut ln(2nln(2^n) ?



  • sa fait 1/ (n<em>ln(2))b(n<em>ln(2))^b=1/ (n(n^b</em>(ln(2))b</em>(ln(2))^b)
    mais sa m'avance pas

    sinon pour Un ont a juste a dire que c'est géométrique??

    ensuite on fait quoi??


  • Modérateurs

    Pour Un, la série est donc la somme d'une suite géométrique, que tu sais calculer, cela te permet de dire quand est-ce que la série est convergente.
    Pour Vn, cela te permet de te ramener à Un...



  • comment on calcul la somme de Un car jvois pas c'est quoi q dans la suite géométrique
    et jvois pas comment transformée Vn avec un Un


  • Modérateurs

    La suite est 1/2nan1/2^{n-an}, donc ((1/2)((1/2)^{1-a})n)^n, donc une suite géométrique de raison (1/2)1a(1/2)^{1-a} ! Je te laisse calculer la somme et voir quand est-ce qu'elle converge !



  • une suite converge si |q|<1 or q=(1/21aq=(1/2^{1-a}) donc |q|<1 donc la suite converge pour tout a

    donc la somme vaut 1 / 1(1/21a1-(1/2^{1-a}) =2=2^{1-a}1/21a-1/2^{1-a}

    c bien cela??

    j'ai pris la formule a/1-q avec a le premier element


 

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