petit problème sur la dérivation de la partie entière



  • Bonjour/bonsoir à tous,
    Je suis en terminale s, et je viens de réaborder la dérivation (vu en première), jusque là pas de problème, cependant notre professeur nous a demandé, d'étudier la dérivabilité de la fonction valeur absolue et la fonction partie entière, il nous a conseillé de revenir à la définition de la dérivation, c'est donc ce que j'ai fait, pour la fonction valeur absolue je n'ai pas eu de problème cependant pour la fonction partie entière, là j'en ai eu. POur récapituler ce que j'ai déjà essayé: sur un intervalle ]n:n+1[ je me doute que f'(x)=0 cependant je n'arrive pas à le démontrer en utilisant la définition de la dérivation, je m'explique, en prenant a=1.5 par exemple on obtient:
    lim f(a+h)-f(a)/h=lim E(1.5+h)-f(1.5)/h et la je tombe sur une forme inderterminée
    h->0
    du type 0/0 que je n'arrive pas à lever.
    Voilà mon problème pour l'interval ]n:n+1[
    et pour l'étude en n et n+1, je ne trouve pas du tout comment faire, la seule piste que j'ai c'est, que comme la fonction n'est pas définie en n et n+1, à mon avis la lim doit être oo, mais je n'arrive pas à le démontrer grace à la définition.

    Voilà si quelqu'un pouvait m'expliquer comment à l'aide de la défintion de la dérivation on peut résoudre les deux problèmes auxquels je suis "confronté", ce serait vraiment très sympa 🆒



  • Bonjour,
    Si a et a+h sont tous deux strictement compris entre les entiers n et n+1, f(a+h)-f(a)=0
    "égal zéro", pas "tend vers 0", donc la limite est nulle quoi que fasse h.

    Par contre, pour les valeurs entières, la fonction est parfaitement définie ( f(n)=n ), mais elle n'est pas continue. Donc elle ne peut pas être dérivable.



  • Tout d'abord merci de ta réponse mathous,
    cependant juste une petite question, Si a et a+h sont tous deux strictement compris entre les entiers n et n+1, il ne faut donc pas calculer la dérivé( avec h tend vers 0) mais uniquement dire que f(a+h)-f(a)=0?
    POur les valeurs entières j'ai compris, mais il y a t-il un moyen de montrer ce que tu m'as dit en utilisant la définition de la dérivée?
    merci d'avance!



  • Si f(a+h) = f(a) = 0 pour tout a et tout h tels que a et a+h sont compris dans l'intervalle, la limite du quotient [f(a+h) - f(a)]/h est bien 0 quand h tend vers 0 : on peut appliquer la définition d'une limite : pour tout ε > 0, il existe η > 0 tel que |h| < η ⇒ |[f(a+h) - f(a)]/h| < ε puisque ce quotient vaut 0.
    Cela signifie que la dérivée de f en a vaut 0 ( la limite trouvée ).

    Pour les valeurs entières, il suffit d'appliquer la contraposée du théorème que je t'ai rappelé : si f est dérivable en a, alors f est continue en a.
    La démonstration de, ce théorème utilise bien la définition de la dérivée en a.
    Si tu souhaites cette démonstration, je peux te la rappeler.


 

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