Fonction définie par une somme de série
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Eemtec dernière édition par
Bonjour à tous,
Je dois montrer que
| f(x) - f(a) | ≤ (4/3) |x -a|
où f(x)=∑0+∞1x+2nf(x)=\sum_{0}^{+\infty }{\frac{1}{x+2^{n}}}f(x)=∑0+∞x+2n1, x et a ∈ mathbbRmathbb{R}mathbbR+, n ∈ mathbbNmathbb{N}mathbbN.Je soustrais les 2 sommes entre elles et j'arrive à :
∑0+∞a−x(x+2n)(a+2n)\sum_{0}^{+\infty }{\frac{a-x}{(x+2^{n})(a+2^{n})}}∑0+∞(x+2n)(a+2n)a−x
mais là, je suis bloqué et je ne sais pas comment continuer.Quelques pistes pour m'aider à avancer ?
Merci d'avance à tous.
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Salut emtec,
Tu remarques que tu as déjà le |a-x| donc en fait il suffit de majorer ∑0+∞1(x+2n)(a+2n)\sum_{0}^{+\infty }{\frac{1}{(x+2^{n})(a+2^{n})}}∑0+∞(x+2n)(a+2n)1
Ce que tu pourrais faire en utilisant la même méthode que dans ta question précédente, c'est-à-dire en minorant a et x par 0 !
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Eemtec dernière édition par
Désolé, mais je ne voie pas très bien ce que tu veux dire ... Je n'arrive pas à retrouver le 4/3 en fait
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Ah oui, j'ai pas été jusqu'au bout de l'explication... :rolling_eyes:
Si tu majores comme je te l'ai dit, tu vas majorer par une série dont le terme général est celui d'une suite géométrique, tu peux donc calculer sa somme ! (Et si je ne me trompe pas, ça fait 4/3 tout juste !)
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Eemtec dernière édition par
Alors, si je t'ai bien suivi :
0 ≤ 2^n ≤ x + 2^n
0 ≤ 2^n ≤ a + 2^n
donc 0 ≤ 4^n ≤ (x + 2^n) * (a + 2^n)et 0 ≤ 1 /(x + 2^n) * (a + 2^n) ≤ (1 / 4)^n
La suite géométrique de terme général (1 / 4)^n converge car valeur absolue de " 1/4" < 1, et on peut calculer sa somme :
S = 1 / ( 1 - (1/4) ) = 4/3 c'est bien ça ?
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C'est bien ça !
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Eemtec dernière édition par
Super, merci de ton aide Kanial.
A plus,
Emtec.
