Fonction définie par une somme de série



  • Bonjour à tous,

    Je dois montrer que
    | f(x) - f(a) | ≤ (4/3) |x -a|
    f(x)=0+1x+2nf(x)=\sum_{0}^{+\infty }{\frac{1}{x+2^{n}}}, x et a ∈ mathbbRmathbb{R}+, n ∈ mathbbNmathbb{N}.

    Je soustrais les 2 sommes entre elles et j'arrive à :
    0+ax(x+2n)(a+2n)\sum_{0}^{+\infty }{\frac{a-x}{(x+2^{n})(a+2^{n})}}
    mais là, je suis bloqué et je ne sais pas comment continuer.

    Quelques pistes pour m'aider à avancer ?

    Merci d'avance à tous.


  • Modérateurs

    Salut emtec,

    Tu remarques que tu as déjà le |a-x| donc en fait il suffit de majorer 0+1(x+2n)(a+2n)\sum_{0}^{+\infty }{\frac{1}{(x+2^{n})(a+2^{n})}}

    Ce que tu pourrais faire en utilisant la même méthode que dans ta question précédente, c'est-à-dire en minorant a et x par 0 !



  • Désolé, mais je ne voie pas très bien ce que tu veux dire ... Je n'arrive pas à retrouver le 4/3 en fait


  • Modérateurs

    Ah oui, j'ai pas été jusqu'au bout de l'explication... :rolling_eyes:
    Si tu majores comme je te l'ai dit, tu vas majorer par une série dont le terme général est celui d'une suite géométrique, tu peux donc calculer sa somme ! (Et si je ne me trompe pas, ça fait 4/3 tout juste !)



  • Alors, si je t'ai bien suivi :
    0 ≤ 2^n ≤ x + 2^n
    0 ≤ 2^n ≤ a + 2^n
    donc 0 ≤ 4^n ≤ (x + 2^n) * (a + 2^n)

    et 0 ≤ 1 /(x + 2^n) * (a + 2^n) ≤ (1 / 4)^n

    La suite géométrique de terme général (1 / 4)^n converge car valeur absolue de " 1/4" < 1, et on peut calculer sa somme :
    S = 1 / ( 1 - (1/4) ) = 4/3 c'est bien ça ?


  • Modérateurs

    C'est bien ça ! 😉



  • Super, merci de ton aide Kanial.

    A plus,
    Emtec.


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