Démontrer qu'une suite est géométrique



  • Bonjour, j'ai un souci avec un exercice sur les suites. Voici l'énoncé : on considère la suite (Vn) définie pour tout entier non nul n par :
    Vn = Un - b / (1-e a^a)
    Un = e a^a Un-1 + b avec a et b deux réels et b ≥0
    1/ démontrer que la suite (Vn) est géométrique
    2/ déterminer Vn puis Un

    pour le 1/, j'ai trouvé Vn+1 = q * Vn = e a^a Un + ab / (1-e a^a). Donc b = 0, la raison est : e a^a/(1-e a^a) et le premier terme V1 = 1
    2/ Vn = (e a^a) n1^{n-1} / (1-e $$^a$)^{n-1}$ * V1. Donc Vn = (e a^a) n1^{n-1}/(1-e $$^a$)^{n-1}$
    Un = (e $$^a$)^{n-1}* u_1$ = (e $$^a$)^{n-1}$

    Voilà, ai-je juste ? Merci pour vos réponses et bonne soirée



  • Bonsoir,

    Vérifie tes calculs pour le 1/, la suite est géométrique pour b ≥ à.
    Tu écris Vn+1 en fonction de Un+1
    puis tu remplaces Un+1 par sa relation en fonction de Un
    Puis Un par sa relation en fonction de Vn
    Tu déduis ensuite la raison.



  • Bonjour et merci Noemi pour ton aide. Je recommence. Cependant tu écris que b≥à ? Est-ce ≥ à 0 ?



  • Bonjour,
    J'ai donc trouvé :
    Vn+1 = Un+1 - (b/1ea(b/1-e^a)
    = ee^aVn+b(b/1ea*Vn+b-(b/1-e^a)

    Un = Vn + (b/1ea(b/1-e^a)
    donc Vn+1= ee^a(Vn((b/1e(Vn-((b/1-e^a))+b((b/(1ea))+b-((b/(1-e^a))
    = eae^a*Vn + ((e((e^ab/1eb/1-e^a))+b(b/1ea))+b-(b/1-e^a)
    =( e-e^a/1ea/1-e^a)*Vn
    la raison est : (e(-e^a/1ea/1-e^a)
    Vn = ((e((-e^a)/(1ea)/(1-e^a))*Vn-1

    Je ne sais plus où j'en suis et ne sais pas comment trouver le 1er terme ainsi que Vn et Un !!!! Si vous pouviez m'orienter ce serait gentil. Merci d'avance et bonne journée



  • oui, c'est b≥0 (erreur de frappe)

    Vn+1 = Un+1 - (b/1ea(b/1-e^a)
    = ee^aUn+b(b/1ea*Un+b-(b/1-e^a)

    Un = Vn + (b/1ea(b/1-e^a)
    donc Vn+1= ee^a(Vn((b/1e(Vn-((b/1-e^a))+b((b/(1ea))+b-((b/(1-e^a))
    = eae^a*Vn + ((e((e^ab/(1eb/(1-e^a))+b(b/1ea))+b-(b/1-e^a)
    =( eae^a*Vn)
    la raison est : ....



  • Merci beaucoup. Donc la raison est : eae^a
    et le premier terme V1V_1 = 1 ?
    2/ vnv_n = (e(e^a)n1)^{n-1} * v n1_{n-1} ?
    mais je n'arrive pas à trouver u n_n
    Si vous pouviez me répondre, merci encore et bonne journée



  • Connais t-on U1 ?

    Pour Vn, utilise les expressions pour les suites géométriques.

    Puis utilise la première relation pour écrire Un.



  • u1=1



  • U1 =1
    mais après je bloque !!!



  • Si U1U_1 = 1, V1V_1 = 1 b/(1ea-b/(1-e^a)

    Si la suite Vn est géométrique :
    VnV_n = V1V_1 * ......



  • Vn= V1(eV1*(e^a)n1)^{n-1}



  • oui,

    Donc Un = ....



  • donc Un = (V1*e a1^{a-1}) + (b/1-e a^a)
    Un = (1-b/1-e a^a)*e a1^{a-1} + b/1-e a^a
    Est-ce exact ? Merci



  • oui,

    Simplifie l'expression.



  • Un = (1-e a^a-b/1-e a^a)*e a1^{a-1}+b/1-e a^a
    Un = (e a1^{a-1} - e 2a1^{2a-1} - b e a1^{a-1}/1-e a)+b/1-e a^a
    Un = (e a^a - b e a1^{a-1} + b)/1-e a^a
    Un = ((e a^a -b(e a1^{a-1} - 1))/1-e a^a

    Est-ce exact ? Merci



  • Une erreur :

    Un = (1e(1-e^ab/1e-b/1-e^a)ea1)*e^{a-1}+b/1-e a^a
    Un = (ea1(e^{a-1} - e2a1e^{2a-1} - b ee^{a-1}+b)/(1ea+b)/(1-e^a)



  • Merci infiniment Noemi pour toute vote aide et votre patience !
    Je vous souhaite une bonne fin de week end



  • Bonne fin de week end.



  • Merci encore pour tout


 

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