Démontrer qu'une suite est géométrique
-
Ppiou49 dernière édition par Hind
Bonjour, j'ai un souci avec un exercice sur les suites. Voici l'énoncé : on considère la suite (Vn) définie pour tout entier non nul n par :
Vn = Un - b / (1-e a^aa)
Un = e a^aa Un-1 + b avec a et b deux réels et b ≥0
1/ démontrer que la suite (Vn) est géométrique
2/ déterminer Vn puis Unpour le 1/, j'ai trouvé Vn+1 = q * Vn = e a^aa Un + ab / (1-e a^aa). Donc b = 0, la raison est : e a^aa/(1-e a^aa) et le premier terme V1 = 1
2/ Vn = (e a^aa) n−1^{n-1}n−1 / (1-e $$^a$)^{n-1}$ * V1. Donc Vn = (e a^aa) n−1^{n-1}n−1/(1-e $$^a$)^{n-1}$
Un = (e $$^a$)^{n-1}∗* ∗u_1$ = (e $$^a$)^{n-1}$Voilà, ai-je juste ? Merci pour vos réponses et bonne soirée
-
Bonsoir,
Vérifie tes calculs pour le 1/, la suite est géométrique pour b ≥ à.
Tu écris Vn+1 en fonction de Un+1
puis tu remplaces Un+1 par sa relation en fonction de Un
Puis Un par sa relation en fonction de Vn
Tu déduis ensuite la raison.
-
Ppiou49 dernière édition par
Bonjour et merci Noemi pour ton aide. Je recommence. Cependant tu écris que b≥à ? Est-ce ≥ à 0 ?
-
Ppiou49 dernière édition par
Bonjour,
J'ai donc trouvé :
Vn+1 = Un+1 - (b/1−ea(b/1-e^a(b/1−ea)
= eee^a∗Vn+b−(b/1−ea*Vn+b-(b/1-e^a∗Vn+b−(b/1−ea)Un = Vn + (b/1−ea(b/1-e^a(b/1−ea)
donc Vn+1= eee^a(Vn−((b/1−e(Vn-((b/1-e(Vn−((b/1−e^a))+b−((b/(1−ea))+b-((b/(1-e^a))+b−((b/(1−ea))
= eae^aea*Vn + ((e((e((e^ab/1−eb/1-eb/1−e^a))+b−(b/1−ea))+b-(b/1-e^a))+b−(b/1−ea)
=( −e-e−e^a/1−ea/1-e^a/1−ea)*Vn
la raison est : (−e(-e(−e^a/1−ea/1-e^a/1−ea)
Vn = ((−e((-e((−e^a)/(1−ea)/(1-e^a)/(1−ea))*Vn-1Je ne sais plus où j'en suis et ne sais pas comment trouver le 1er terme ainsi que Vn et Un !!!! Si vous pouviez m'orienter ce serait gentil. Merci d'avance et bonne journée
-
oui, c'est b≥0 (erreur de frappe)
Vn+1 = Un+1 - (b/1−ea(b/1-e^a(b/1−ea)
= eee^a∗Un+b−(b/1−ea*Un+b-(b/1-e^a∗Un+b−(b/1−ea)Un = Vn + (b/1−ea(b/1-e^a(b/1−ea)
donc Vn+1= eee^a(Vn−((b/1−e(Vn-((b/1-e(Vn−((b/1−e^a))+b−((b/(1−ea))+b-((b/(1-e^a))+b−((b/(1−ea))
= eae^aea*Vn + ((e((e((e^ab/(1−eb/(1-eb/(1−e^a))+b−(b/1−ea))+b-(b/1-e^a))+b−(b/1−ea)
=( eae^aea*Vn)
la raison est : ....
-
Ppiou49 dernière édition par
Merci beaucoup. Donc la raison est : eae^aea
et le premier terme V1V_1V1 = 1 ?
2/ vnv_nvn = (e(e(e^a)n−1)^{n-1})n−1 * v n−1_{n-1}n−1 ?
mais je n'arrive pas à trouver u n_nn
Si vous pouviez me répondre, merci encore et bonne journée
-
Connais t-on U1 ?
Pour Vn, utilise les expressions pour les suites géométriques.
Puis utilise la première relation pour écrire Un.
-
Ppiou49 dernière édition par
u1=1
-
Ppiou49 dernière édition par
U1 =1
mais après je bloque !!!
-
Si U1U_1U1 = 1, V1V_1V1 = 1 −b/(1−ea-b/(1-e^a−b/(1−ea)
Si la suite Vn est géométrique :
VnV_nVn = V1V_1V1 * ......
-
Ppiou49 dernière édition par
Vn= V1∗(eV1*(eV1∗(e^a)n−1)^{n-1})n−1
-
oui,
Donc Un = ....
-
Ppiou49 dernière édition par
donc Un = (V1*e a−1^{a-1}a−1) + (b/1-e a^aa)
Un = (1-b/1-e a^aa)*e a−1^{a-1}a−1 + b/1-e a^aa
Est-ce exact ? Merci
-
oui,
Simplifie l'expression.
-
Ppiou49 dernière édition par
Un = (1-e a^aa-b/1-e a^aa)*e a−1^{a-1}a−1+b/1-e a^aa
Un = (e a−1^{a-1}a−1 - e 2a−1^{2a-1}2a−1 - b e a−1^{a-1}a−1/1-e a)+b/1-e a^aa
Un = (e a^aa - b e a−1^{a-1}a−1 + b)/1-e a^aa
Un = ((e a^aa -b(e a−1^{a-1}a−1 - 1))/1-e a^aaEst-ce exact ? Merci
-
Une erreur :
Un = (1−e(1-e(1−e^a−b/1−e-b/1-e−b/1−e^a)∗ea−1)*e^{a-1})∗ea−1+b/1-e a^aa
Un = (ea−1(e^{a-1}(ea−1 - e2a−1e^{2a-1}e2a−1 - b eee^{a-1}+b)/(1−ea+b)/(1-e^a+b)/(1−ea)
-
Ppiou49 dernière édition par
Merci infiniment Noemi pour toute vote aide et votre patience !
Je vous souhaite une bonne fin de week end
-
Bonne fin de week end.
-
Ppiou49 dernière édition par
Merci encore pour tout