Démonstration Produits Scalaires. u.(v+w)=u.v+u.w (Vecteurs)

Soient u, v et w trois vecteurs non nuls du plan, on pose u=OA, v=OB, et w=BC.
On appel B' et C' les projetés orthogonaux respectifs sur la droite (OA) des points B et C.
On pose B'C'= β*OB'

a) Faire une figure. (ça c'est fait)

b) Prouver que u.(v+w)=OA.OC'
puis que u.(v+w)=(1+α)OA.OB'

[Pour celui la j'ai dit que OB' et B'C' sont de même sens que OA.
Donc u.(v+w)= OA.(OB+BC) <--- Relation de Chasles?
=OA.OC
=OA.OC'
Car C' est le projeté orthogonal de C sur la droite (OA).

(Est que c'est juste et suffisant?)]

c)Montrer que u.v+u.w=OA.OB'+OA+B'C'
puis que u.v+u.w=(1+α)OA.OB'

d) En déduire que u.(v+w)=u.v+u.w

e)Prouver que
(u+v).w= u.w+v.w

(Ce dm est pour vendredi prochain, Merci d'avance à ceux qui m'aideront )

Bonjour,
Citation
j'ai dit que OB' et B'C' sont de même sens que OA.Ce n'est pas obligé, et cela ne sert à rien.
Qu'est-ce que α ? il n'est pas défini dans l'énoncé. Ne serait-ce pas β ?

mathtous
Bonjour,
Qu'est-ce que α ? il n'est pas défini dans l'énoncé. Ne serait-ce pas β ?

Ok, mais si on trace la figure ils sont de meme sens. Ce que tu veut dire c'est qu'on est pas obligé de le préciser ou que c'est faux? Oui c'est β, désolée j'ai fait une erreur de frappe.

Citation
Ok, mais si on trace la figure ils sont de même sens.Tu peux aussi tracer une figure où ils seraient de sens contraires.
On ne peut donc rien dire de leurs sens respectifs, et de toute façon on n'en a pas besoin.

mathtous
Tu peux aussi tracer une figure où ils seraient de sens contraires.
On ne peut donc rien dire de leurs sens respectifs, et de toute façon on n'en a pas besoin.

Oui, j'avais oublié que ça dépendait de l'angle; s'il été aigu ou obtu. En tout cas pour que l'égalité soit vrai, il faut bien que mon angle soit aigu non?
Puisque s'il était obtus ou droit on aurait:

u.(v+w)=-OA.OC' ? et non u.(v+w)=OA.OC'.

Citation
u.(v+w)=-OA.OC' ? et non u.(v+w)=OA.OC'.Pourquoi un signe moins ?
Le résultat sera peut-être négatif, mais il reste égal à OA.OC ( et donc à OA.OC' ) quel que puisse être son signe.

AH oui c'est vrai!

En fait j'ai fini le dm je mettrai ce que j'ai fait, s'il y a des erreurs tu pourra m'expliquer?

Bien sur.

b) u.(v+w)= OA.(OB+BC)
= OA.OC
= OA.OC'
Car C' est le projeté orthogonal de C sur la droite (OA).

u.(v+w)= (1+β) OA.OB
On sait que B'C'=β*OB':

⇔u.(v+w)= OA.OC'
⇔u.(v+w)= OA.(OB'+B'C')
⇔u.(v+w)= OA.OB'+(β*OB')
On factorise:
⇔u.(v+w)=OA.OB' (1+β)

c) u.v+u.w=OA.OB+OA.BC
= OA.OB'+OA.B'C'
Car B' et C' Sont les projetés orthogonaux de B et C sur (OA).

u.v+u.w= (1+β) OA.OB'
On sait que B'C'=β*OB'
u.v+v.w=OA.OB'+OA.B'C'
= OA.OB'+OA.(β+OB)
On Factorise:
= OA.OB' (β+1)

d) Comme u.(v+w)=(1+β)OA.OB'
et que u.v+u.w=(1+β) OA.OB'

On a donc u.(v+w)=u.v+u.w

e) On sait que les produits scalaires sont commutable donc:
(u+v).w= u.w +v.w
⇔w.(u+v)=w.u+w.v .

c) u.v+u.w=OA.OB+OA.BC
= OA.OB'+OA.B'C'
Car B' et C' Sont les projetés orthogonaux de B et C sur (OA).

u.v+u.w= (1+β) OA.OB'
On sait que B'C'=βOB'
u.v+v.w=OA.OB'+OA.B'C'
= OA.OB'+OA.(βOB')<---Désolée je me suis planter en recopiant...
On Factorise:
= OA.OB' (β+1)

Citation
u.(v+w)= OA.OB'+(βOB')Parenthèses mal placées :
OA.[OB' + (βOB')]

Citation
u.(v+w)=OA.OB' (1+β)On a l'habitude de mettre le "scalaire" devant : (1+β) OA.OB'

Citation
.v+u.w= (1+β) OA.OB'
On sait que B'C'=β*OB'
u.v+v.w=OA.OB'+OA.B'C'
= OA.OB'+OA.(β+OB)
On Factorise:
= OA.OB' (β+1)En fait, le calcul est le même que précédemment.

Citation
e) On sait que les produits scalaires sont commutable donc:
(u+v).w= u.w +v.w
⇔w.(u+v)=w.u+w.v .Oui, c'est le principe, mais attention toutefois que ce qui a été démontré avant fait intervenir v+w et non pas u+v.
Il serait donc peut-être bon de dire que ce qui a été établi est valable pour n'importe quels vecteurs, puis utiliser ensuite la permutabilité des termes du produit scalaire.

Ok Merci de ton aide!

De rien.