Etude de la dérivabilité de la fonction racine carrée en 0.



  • Bonjour, je bloque depuis ce matin sur cet exercice à la question 1.
    J'aurais donc besoin de votre aide.

    f est la fonction définie sur [0;+∞[ par f(x) = √x

    1. Montrer que pour tout h > 0, le taux de variation de f entre 0 et 0+h est 1/√h.

    Je n'arrive pas à retrouver le schéma typique des exercices que j'ai fait en cours. a= ?

    1. On note g la fonction définie sur ]0;+∞[ par : g(h) = 1/√h (on conserve l'écriture de g(h) avec le radical au dénominateur).

    a. Dans quel intervalle choisir h pour que g(h) ≥ 10^6 ?
    b. Dans quel intervalle choisir h pour que g(h) ≥ 10^100 ?

    D'une façon plus générale, on démontre que g(h) peut dépasser n'importe quel nombre, aussi grand soit il, pourvu que h soit assez proche de 0. On dit alors que g admet +∞ pour limite en 0.

    1. En déduire que f n'est pas dérivable en 0.

    2. La courbe C représentant f dans un repère admet l'axe des ordonnées pour tangente à l'origine O. Expliquer pourquoi.

    3. Tracer la courbe C.

    Merci d'avance.



  • Bonjour,
    Le taux est [f(h)-f(0)] / h : remplace



  • En remplacant ca donne (√h - √0)/h mais je ne vois pas comment arriver à 1/√h.



  • La parenthèse donne √h car √0 = 0
    Reste donc √h / h = 1/√h car par définition (√h)² = h.
    C'est tout simple.
    Ainsi, √5/5 = 1/√5 car 5 = √5*√5, et on simplifie.



  • Ok merci. Je bloque aussi ur la 2.a. et b.
    1/√h ≥ 10^6 mais comment le résoudre ?



  • Les nombres sont tous positifs :
    1/√h ≥ 10^6
    ⇔√h ≤ 10^(-6)
    ⇔ h ≤ 10^(-12)



  • Donc pour que g(h) ≥ 10^6 h doit être sur ]-∞; 10^-12] ou [0;10^-12] ?

    Pour que g(h) ≥ 10^100 h doit être sur ]-∞; 10^-10000] ou [0;10^-1000] ?



  • Relis l'énoncé : n'oublie pas que h est positif ( strictement ).



  • Ah oui je n'avais pas vu, donc c'est le 2eme intervalle avec 0 exclu.
    ]0;10^-12]
    ]0;10^-1000]



  • Oui, mais il doit manquer un zéro au second.



  • Oui faut de frappe désolé.
    J'aurais encore besoin d'aide pour la question 3.



  • Par définition, f serait dérivable en 0 si le taux d'accroissement g admettait une limite finie lorsque h tend vers 0.
    Or, g(h) tend vers +∞ lorsque h tend vers 0 ( expliqué énoncé question 2 ).
    C'est contradictoire avec la définition de la dérivée, donc f n'est pas dérivable en 0.



  • Oui j'ai trouvé entre temps grâce à mon cours :).
    Pour la question 4 c'est parce qu'il n'y a pas de limite que C admet l'axe des ordonnées pour tangente à l'origine O ?



  • O est le point (0 ; 0) situé sur la courbe.
    M(h ; √h) est également un point de la courbe.
    Le taux d'accroissement g(h) est exactement le coefficient directeur de le droite (OM).
    Lorsque h tend vers 0, M se rapproche de O tout en restant sur la courbe : à la limite, on obtient la tangente à la courbe en O ( pense à ce qui se passe sur un cercle où une sécante devient tangente ).
    Le coefficient directeur de cette droite tend vers +∞ donc la droite (OM) se rapproche de plus en plus de l'axe des ordonnées : on peut dire alors que cet axe est tangent à la courbe en O.



  • Merci beaucoup ! 😄



  • De rien.


 

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