Etude de la dérivabilité de la fonction racine carrée en 0.

Bonjour, je bloque depuis ce matin sur cet exercice à la question 1.
J'aurais donc besoin de votre aide.

f est la fonction définie sur [0;+∞[ par f(x) = √x

Montrer que pour tout h > 0, le taux de variation de f entre 0 et 0+h est 1/√h.

Je n'arrive pas à retrouver le schéma typique des exercices que j'ai fait en cours. a= ?

On note g la fonction définie sur ]0;+∞[ par : g(h) = 1/√h (on conserve l'écriture de g(h) avec le radical au dénominateur).

a. Dans quel intervalle choisir h pour que g(h) ≥ 10^6 ?
b. Dans quel intervalle choisir h pour que g(h) ≥ 10^100 ?

D'une façon plus générale, on démontre que g(h) peut dépasser n'importe quel nombre, aussi grand soit il, pourvu que h soit assez proche de 0. On dit alors que g admet +∞ pour limite en 0.

En déduire que f n'est pas dérivable en 0.
La courbe C représentant f dans un repère admet l'axe des ordonnées pour tangente à l'origine O. Expliquer pourquoi.
Tracer la courbe C.

Merci d'avance.

Bonjour,
Le taux est [f(h)-f(0)] / h : remplace

En remplacant ca donne (√h - √0)/h mais je ne vois pas comment arriver à 1/√h.

La parenthèse donne √h car √0 = 0
Reste donc √h / h = 1/√h car par définition (√h)² = h.
C'est tout simple.
Ainsi, √5/5 = 1/√5 car 5 = √5*√5, et on simplifie.

Ok merci. Je bloque aussi ur la 2.a. et b.
1/√h ≥ 10^6 mais comment le résoudre ?

Les nombres sont tous positifs :
1/√h ≥ 10^6
⇔√h ≤ 10^(-6)
⇔ h ≤ 10^(-12)

Donc pour que g(h) ≥ 10^6 h doit être sur ]-∞; 10^-12] ou [0;10^-12] ?

Pour que g(h) ≥ 10^100 h doit être sur ]-∞; 10^-10000] ou [0;10^-1000] ?

Relis l'énoncé : n'oublie pas que h est positif ( strictement ).

Ah oui je n'avais pas vu, donc c'est le 2eme intervalle avec 0 exclu.
]0;10^-12]
]0;10^-1000]

Oui, mais il doit manquer un zéro au second.

Oui faut de frappe désolé.
J'aurais encore besoin d'aide pour la question 3.

Par définition, f serait dérivable en 0 si le taux d'accroissement g admettait une limite finie lorsque h tend vers 0.
Or, g(h) tend vers +∞ lorsque h tend vers 0 ( expliqué énoncé question 2 ).
C'est contradictoire avec la définition de la dérivée, donc f n'est pas dérivable en 0.

Oui j'ai trouvé entre temps grâce à mon cours :).
Pour la question 4 c'est parce qu'il n'y a pas de limite que C admet l'axe des ordonnées pour tangente à l'origine O ?

O est le point (0 ; 0) situé sur la courbe.
M(h ; √h) est également un point de la courbe.
Le taux d'accroissement g(h) est exactement le coefficient directeur de le droite (OM).
Lorsque h tend vers 0, M se rapproche de O tout en restant sur la courbe : à la limite, on obtient la tangente à la courbe en O ( pense à ce qui se passe sur un cercle où une sécante devient tangente ).
Le coefficient directeur de cette droite tend vers +∞ donc la droite (OM) se rapproche de plus en plus de l'axe des ordonnées : on peut dire alors que cet axe est tangent à la courbe en O.

Merci beaucoup !

De rien.