Exercice avec équations du 3ème degré...



  • Bonjour à toutes et à tous,
    Voilà : J’ai un exercice de math à faire, et je bloque sur une question qui revient à deux reprises dans cet exercice. En voici une des deux :

    Voici tout ce que l’on sait :
    Soit l’équation (E) : x^ 3 = px + q
    On pose x = u + v, et on dit que :
    uv = p/3
    u^3 + v^3 = q
    u^3 . v^3 = (p^3)/27

    (E) est aussi égale à : u^ 3 + v^3 + (3uv – p)(u + v)

    Voilà la question : En déduire une équation du second degré (E’) associée à l’équation (E) qui permet de calculer u^3 et v^3.. C’est là que je bloque !! J’arrive à fait tout le reste de l’exercice, mais pas ce point la ! Merci de bien vouloir m’aider…



  • j'ai fait un document à ce sujet (pour moi c'est x3x^3 + px + q = 0) à trouver dans la rubrique "Cours et Math-fiches", de "1ère".



  • Merci pour ces fiches précieuses et très bien faites ! Il y a juste un petit point que j'aimerais que vous m'expliquiez.. Les dernières lignes de la page 4 et les premières de la page 5, que voici :

    Pour y voir plus clair, posons : a = u3 et b = v3.

    Alors les conditions (7) s’écrivent :
    a b = −p3/27 et a + b = −q.
    Autrement dit, il s’agit de trouver deux nombres a et b connaissant leur
    somme S = −q et leur produit P = −p^3/27. On sait que ceci n’est possible que sous la condition : S2 − 4P³> 0, c’est-à -dire, ici :
    q² + (4 p^3) / 27 ³ > 0

    (On rappelle que a et b sont solutions, si elles existent, de l’´equation X2 −S x+P = 0,
    dont le discriminant est D = S2 − 4 P.)

    ce qui s’écrit finalement : 4 p^3 + 27 q² ³ 0.

    Dans ce cas, les nombres a et b sont les solutions de l’équation :
    X² + qX −(p^3 / 27) = 0.

    Je n'ai pas compris notamment les notes mises entre parenthèses.. et comment vous arrivez à écrire l'équation finale X² + qX −(p^3 / 27) = 0
    Merci encore !!



  • Il existe un théorème classique :

    deux nombres u et v tels que
    u+v = S et uv = P
    sont solutions de l'équation
    X² - Sx + P = 0
    .

    En effet, on a u(u+v) = u² + uv = uS d'une part, et d'autre part
    u² + uv = u² + P. Donc u² + P = Su. On peut faire pareil pour v.
    Ce qui prouve le théorème.

    Ce qui est bien, c'est qu'avec les formules du second degré, on a les moyens de trouver les solutions de cette équation facilement.

    Exemple : trouver u et v tels que u+v = 20 et uv = 93,75.
    ce sont les solutions de X² - 20X + 93,75 = 0, que je te laisse résoudre.

    On a aussi le moyen de discriminer l'existence de solution au problème de trouver u et v de somme S et de produit P.


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