Lever l'indetermination d'une fonction

[antisthene]

Bonjour à tous,

j'ai un petit problème concernant l'étude des limites d'une fonction:

Soit $f(x)=(x^2-3x+1){\text{e}}^{-x}$

En $-\infty$ :

$x^2-3x+1$ tend vers $+\infty$
et ${\text{e}}^{-x}=\frac{1}{{\text{e}}^x}$ tend vers $+\infty$

On en déduit ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=+\infty$

A priori ça me semble correct

En $+\infty$ :

$x^2-3x+1$ tend vers $+\infty$ et ${\text{e}}^{-x}=\frac{1}{e^x}$ tend vers 0

Je me retrouve avec une forme indéterminée du type "$\infty \times 0$"

J'ai essayer de réécrire ça mais je ne trouve pas de limite usuelle ou des simplifications.

J'ai vérifié sur ma calculette et je trouve en $+\infty$ une limite égale à 0.

N'y a t-il pas une limite usuelle en $+\infty$ tel que$x{\text{e}}^{-x}=0$ ? Comment le prouver?
On sait par exemple que ${\lim }_{x\to -\infty }x{\text{e}}^x=0$ n'y aurait-il pas une transformation?

Comme ça je pourrais écrire $f(x)=x^2{\text{e}}^{-x}-5x{\text{e}}^{-x}+{\text{e}}^{-x}$

Quelqu'un peut-il m'aider?

Merci

[Zauctore]

Salut

En écrivant $f(x)=\frac{x^2}{{\text{e}}^x}-\frac{5x}{{\text{e}}^x}+\frac{1}{{\text{e}}^x}$

sachant que ${\lim }_{u\to +\infty }\frac{{\text{e}}^u}{u^k}=+\infty$,

c'est-à-dire par inversion ${\lim }_{u\to +\infty }\frac{u^k}{{\text{e}}^u}=0$

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