Déterminer les solutions d'un polynôme degré 4 dans le plan complexe

Bonjour, j'ai un devoir maison comportant deux exercices a rendre pour lundi. J'ai déjà fait le premier, mais je bloque a la fin du deuxieme, voici l'enoncé :

On considère $P(z)=z^4$ -6z³ + 24z² -18z +63 avec z ∈ $mathbb{C}$

Montrer que l'équation P(z) =0 admet deux solutions imaginaires pures.

J'ai posé z = iy et trouver z = i√3 et z= -i√3

Montrer qu'il existe 3 réel a, b et c tel que P(z) = (z² + 3)(az² + bz + c), puis résoudre
P(z) = 0 dans $mathbb{C}$

J'ai développé, et par identification j'ai trouvé a = 1 b=-6 et c=21
Les solutions de P(z) = 0 sont donc S = {i√3 ; -i√3 ; 3+2i√3 ; 3-2i√3}

3 Placer les points A,B,C,D d'affixes respectives :

$z_A$ = i√3
$z_B$ = -i√3
$z_C$ = 3+2i√3
et $z_D$ = 3-2i√3

Montrer qu'ils appartienne à un meme cercle.

Ici je bloque, je n'arrive pas à prouver par le calcul que ces points appartiennent à un même cercle.

on note E le symétrique de D par rapportà O.
Déterminer la nature du triangle BEC.

Je n'ai pas encore fait.

Pouvez vous m'aider. Merci d'avance pour toute aide apportée.

Bonjour,
Considère le point G d'affixe 3.
Calcule les distances GA, GB, GC, et GD.

La distance entre G et tous les points est la même : 2√3

Mais pourquoi avoir considéré le point G d'affixe 3 ?
Comment l'avoir trouvé ?

G est équidistant des 4 points, donc c'est le centre d'un cercle passant par ces points.
Comment l'avoir trouvé ?
En regardant le dessin, un peu d'intuition que diable !
Sinon, il est évident à cause des symétries que le centre du cercle que l'on cherche est sur l'axe des abscisses : son affixe est réelle.
On peut donc poser G(x,0).
L'équation GA² = GC² fournit une seule valeur pour x : 3.

Merci beaucoup

De rien.