Déterminer les solutions d'un polynôme degré 4 dans le plan complexe



  • Bonjour, j'ai un devoir maison comportant deux exercices a rendre pour lundi. J'ai déjà fait le premier, mais je bloque a la fin du deuxieme, voici l'enoncé :

    On considère P(z)=z4P(z)=z^4 -6z³ + 24z² -18z +63 avec z ∈mathbbCmathbb{C}

    1. Montrer que l'équation P(z) =0 admet deux solutions imaginaires pures.

    J'ai posé z = iy et trouver z = i√3 et z= -i√3

    1. Montrer qu'il existe 3 réel a, b et c tel que P(z) = (z² + 3)(az² + bz + c), puis résoudre
      P(z) = 0 dans mathbbCmathbb{C}

    J'ai développé, et par identification j'ai trouvé a = 1 b=-6 et c=21
    Les solutions de P(z) = 0 sont donc S = {i√3 ; -i√3 ; 3+2i√3 ; 3-2i√3}

    3 Placer les points A,B,C,D d'affixes respectives :

    zAz_A = i√3
    zBz_B = -i√3
    zCz_C= 3+2i√3
    et zDz_D = 3-2i√3

    Montrer qu'ils appartienne à un meme cercle.

    Ici je bloque, je n'arrive pas à prouver par le calcul que ces points appartiennent à un même cercle.

    1. on note E le symétrique de D par rapportà O.
      Déterminer la nature du triangle BEC.

    Je n'ai pas encore fait.

    Pouvez vous m'aider. Merci d'avance pour toute aide apportée.



  • Bonjour,
    Considère le point G d'affixe 3.
    Calcule les distances GA, GB, GC, et GD.



  • La distance entre G et tous les points est la même : 2√3

    Mais pourquoi avoir considéré le point G d'affixe 3 ?
    Comment l'avoir trouvé ?



  • G est équidistant des 4 points, donc c'est le centre d'un cercle passant par ces points.
    Comment l'avoir trouvé ?
    En regardant le dessin, un peu d'intuition que diable !
    Sinon, il est évident à cause des symétries que le centre du cercle que l'on cherche est sur l'axe des abscisses : son affixe est réelle.
    On peut donc poser G(x,0).
    L'équation GA² = GC² fournit une seule valeur pour x : 3.



  • Merci beaucoup



  • De rien.


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