Résolution de problèmes dans le plan complexe

[mashopha]

Bonjour, j'ai un devoir maison en 5 exercices pour lundi prochain et je dois avouer avoir beaucoup de mal a le réaliser, j'ai déja fait les 2 premiers exercices. Pouvez vous m'aider pour le reste ?

*Ex 3:

Soit z= x + iy et z²= a +ib les formes algébriques de z et z².

1. Montrer que si module de z = 1 alors on a x²= (1+a)/2 et y²= (1-a)/2. *

J'ai fait module de z = 1 ce qui me donne module z = √(x²+y²) -1
Avec cette expression je fait (module de z)²=module de z², et je tente de résoudre mais
je me retrouve avec des expression très longues mais irréductibles. Je ne sais pas comment faire pour trouver le bon résultat.

2.a. Soit x=cos π/8 et y=sin π/8, determiner la force trigonométrique puis algébrique de z².

Module de z² = √(a² + b²)
donc z² s'ecrit √(a²+b²) x [ (a/√(a²+b²)) + (b/√(a²+b²))]
Apres je suis perdue.

b. En déduire les valeurs exactes de cos π/8 et sin π/8 .
[/i]

je connais la technique mais ne peux pas le faire sans la question précédente.

Exo 4

Soit le point A( 1/2 + i√3/2). A tout point M d'affixe z on associe le point M' d'affixe Z=z²

1.Exprimer le module R et un argument Θ de Z en fonction du module r et d'un argument α de z, avec z≠0.

On pose z = x + iy
Je fait module de Z = module de z²
= (module de z)²
= x²+y²

arg ( Z) = arg (z²)
= 2arg ( z)
= 2α

2. Caractériser avec r et/ou α :
   a. L'ensemble $P^{+}$ des points M(z) tels que Re(z)≥0

Je comprend pas ce qu'il faut faire.

b. La demi droite [OA) ?

Je ne comprend pas la question.

3. A quel ensemble appartiennent les points M' lorsque M décrit :

a. le demi cercle de centre O, de rayon 2 comntenu $d{a}^{P+}$ ?

Je ne comprend pas.

b. La demi droite [OA) ?

Je ne comprend pas

Exo 5

Soit l'équation différentielle (E) : y' -3y = exp(3x) qu'on ne cherchera pas à résoudre.
f est la solution de (E) définie sur $mathbbR$ telle que f(0)=1 et g la fonction définie sur $mathbbR$ par g(x) = f(x) × exp(-3x).
Les assertions suivantes sont elles exactes ou fausses ? JUSTIFIER

a. f'(0) = 4

b. νx∈$mathbbR$, g'(x) = 1

c. νx∈$mathbbR$, f(x) = x × exp(3x)

d. la fonction h définie sur $mathbbR$ par h(x) = x × exp(3x) est solution de (E).

Merci d'avance pour l'aide apportée.

[mashopha]

s'il vous plait, quelqu'un pourait m'aider ?