Dresser le tableau de variation et asymptotes d'une fonction exponentielle

Bonjour

On considère la fonction f définie sur R par :

f(x)=(x+2/3)e^(-3x) + x - 2/3

Déterminer les limites de f en +infini et -infini

Calculer f'(x) et f''(x)
En déduire de variation de f'
Montrer que f'(x) garde un sine constant
Dresser le tableau de variation de la fonction f

Démontrer que la droite d d'équation y=x - (2/3) est asymptote à la courbe C
Préciser la position de C par rapport à d

Les limites je les ai déjà faites, pour l'instant j'arrive pas à calculer la dérivée.

Merci d'avance.

Bonsoir

dans le calcul de la dérivée de

$\left(x+\frac23\right) \text{e}^{-3x} + x - \frac23,$

par quoi commencer ?

J'ai commencé a séparer le calcul en posant
u(x)= (x+ (2/3) )
v(x)= e^-3x
w(x)= x- (2/3)

donc une forme u(x)v(x) + w(x)

pourquoi pas

que te donne la dérivée du produit u(x)v(x) ?

u'(x)= -3x²*e^-3x
v'(x)= -2 e^-3x

c'est incohérent avec ce que tu as posé pour u et v, recommence

$[(x+23)×e−3x]′=…?\left[\left(x+ \frac23\right)\times \text{e}^{-3x}\right]' = \dots ?$

alors u'(x) = 1
v'(x)= -3x * e^-3x

v'(x)=
-3x* e^-3x
il y a une erreur

lorsque tu dérives une exponentielle "composée comme
$ef(x)\text{e}^{f(x)}$
alors la dérivée est
$\text{e}^{f(x)}$
c'est-à-dire que l'exponentielle reste inchangée, multipliée par la dérivée $f^{'}$

donc ici... ?

donc -3*e^-3x.
apres je multiplie u'x avec v'x et j'ajoute w'x ?

(j'étais parti)

il faut mieux connaître tes formules : la dérivée de uv est u'v + uv'

à cela tu dois ensuite ajouter w' en effet.

Ah oui c'est vrai.
Et comment on fait pour montrer que f'(x) garde un signe constant?

qu'as-tu trouvé en définitive pour f'(x) ?

J'ai trouvé - (3x+1) * e^-3x +1

oui

le signe ne semble pas évident à première vue.

dirigeons-nous alors vers la dérivée seconde f'', pour récupérer de l'info sur f', sait-on jamais... dérive donc à nouveau -(3x+1)e^(-3x) +1.

Je l'ai faite et j'ai trouvé -6 e^-3x + (-9x)*e^-3x
et après j'ai fait les variations de f'(x) la première dérivée

et quelles variations as-tu trouvé ?

décroissante puis croissante

avec quelles limites ?

ps : tu es sûre de ta dérivée seconde ?

Euh oui je pense.

si je ne m'abuse

l'expression que tu proposes pour f'(x) = -(3x+1)e^(-3x) +1 donne en dérivant

-[3e^(-3x) -3(3x+1)e^(-3x)]

soit

-(3 - 9x -3)e^(-3x) = 9x e^(-3x)

ouf ça n'influera pas sur les variations.

mais alors, quel minimum proposes-tu pour f'(x) ?

minimum 4

on parle bien de f'(x) ? il me semble que le minimum n'est pas 4.

Oui, bah c'est ce que je trouve.

comment fais-tu ?
il me semble que la valeur 0 atteinte en 0 est moindre que 4.

-4 plutot
Je trace a la calculette

f'(0) = -(3×0+1)e^(-3×0) +1 = -1×e^0 + 1 = -1 + 1 = 0.

Ah ... :rolling_eyes:

Et pour le signe constant je vois toujours pas comment faire

le minimum de f'(x) étant 0, alors...

signe positif alors.
C'est juste ca ?

oui.