Déterminer l'ensemble des solutions d'une équation dans le plan complexe

Bonjour.

Je dois déterminer l'ensemble E des images M de tous les nombres complexes z tels que z + (9/z) soit réel.

J'ai donc poser z= x+iy mais après avoir multiplié par le conjugué du dénominateur je vois pas comment poursuivre.

Merci.

Bonjour,

En passant par la forme algébrique, qu'obtiens-tu pour la partie imaginaire ?

j'ai x²+y² + (9x-9iy)/(x²+y²)

C'est la partie imaginaire ça ? ou c'est z + (9/z) sous forme algébrique ?

c'est z+(9/z)

$z+9z=x+yi+9x+yi=...=(x+yi)(x2+y2)x2+y2+9(x−yi)x2+y2z+\frac{9}{z}=x+yi+\frac{9}{x+yi}=...=\frac{(x+yi)(x^2+y^2)}{x^2+y^2}+\frac{9(x-yi)}{x^2+y^2}$
es-tu arrivé jusque là ?

quelle est la partie imaginaire ?

oui je suis arrivée là, la partie imaginaire c'est la partie de droite, mais il y a aussi des i a gauche

Oui

$im(z+9z)=y(x2+y2−9)x2+y2im(z+\frac{9}{z})=\frac{y(x^2+y^2-9)}{x^2+y^2}$

Pour que z+(9/z) soit réel, que résous-tu ?

(attention aux valeurs interdites)

Je comprend pas c'est une factorisation ?
Il faut résoudre Im(Z)=0

qu'est-ce que tu ne comprends pas ? Le résultat Im(Z) ?

Oui, il faut bien résoudre Im(z+9/z)=0

Iron
Oui

$im(z+9z)=y(x2+y2−9)x2+y2im(z+\frac{9}{z})=\frac{y(x^2+y^2-9)}{x^2+y^2}$

Pour que z+(9/z) soit réel, que résous-tu ?

(attention aux valeurs interdites)

le membre a droite de l'égalité je comprends pas

$z+9z=(x+yi)(x2+y2)x2+y2+9(x−yi)x2+y2=x(x2+y2)+yi(x2+y2)+9x−9yix2+y2=x(x2+y2)+9xx2+y2+i(y(x2+y2)−9y)x2+y2z+\frac{9}{z}=\frac{(x+yi)(x^2+y^2)}{x^2+y^2}+\frac{9(x-yi)}{x^2+y^2}=\frac{x(x^2+y^2)+yi(x^2+y^2)+9x-9yi}{x^2+y^2}=\frac{x(x^2+y^2)+9x}{x^2+y^2}+\frac{i(y(x^2+y^2)-9y)}{x^2+y^2}$

puis en mettant y en facteur dans la partie imaginaire.

Je dois quitter, je reprendrai peut-être plus tard si personne n'a pris le relais

Merci de votre aide.
Je pense avoir compris.

Tu pourras poster ton résultat si tu le souhaites pour vérification