exercice de spécialité sur la divisibilité

Bonsoir!
J'ai un petit problème avec un exo de spécialité sur la divisibilité, ce n'est pas un devoir à rendre sur feuille, ni un exercice donné par le prof, mais juste un exo que j'ai choisi de faire pour essayer de progresser un peu.
Voici l'énoncé :
1/ Pour tout entier naturel n, démontrer que n²+5n+4 et n²+3n+2 sont divisibles par n+1.
2/ Déterminer les valeurs de n pour lesquelles 3n²+15n+19 est divisible par n+1.
3/ Existe-t-il des entiers naturels n pour lesquels 3n²+15n+19 est divisible par n²+3n+2 ?

Ce que j'ai trouvé :
1/ n²+5n+4=n²+2n+1+3n+3 = (n+1)² + 3(n+1)
n²+3n+2 = n² +2n +1 +n +1 = (n+1)² +n+1

2/ 3n²+15n+19 = 3(n²+5n + 4) +7
On suppose que n+1 divise 3n²+15n+19, donc n+1 divise 3(n²+5n + 4) +7
Il faut que n+1 divise 7, or les seuls diviseurs de 7 sont 1 et 7, donc n+1=1 ou n+1=7, donc n=0 ou n=6.

3/ C'est là où je bloque. J'ai pensé à utiliser une combinaison entière, mais je crois que ça ne marche pas. Est-ce que quelqu'un pourriat m'aider, je lui serais très reconnaissante.

Merci d'avance.

Bonjour,
n²+3n+2 = (n+1)(n+2)
Donc pour que 3n²+15n+19 soit divisible par n²+3n+2, il doit être divisible par n+1 ( vu plus haut ) et par n+2.
Effectue la division euclidienne de 3n²+15n+19 par n+2 : quel est le reste ?

J'ai compris! Le reste est 1 pour tout entier naturel n, donc 3n²+15n+19 n'est pas divisible par n²+3n+2. Merci beaucoup de m'avoir aidée.
Mais si on n'avait pas pensé à la factorisation de n²+3n+2 par n+1? On doit donc deviner?

La factorisation a déjà été effectuée :
Citation
n²+3n+2 = n² +2n +1 +n +1 = (n+1)² +n+1Il suffit de l'achever :
n²+3n+2 = (n+1)[(n+1)+1] = (n+1)(n+2)

Il n'est pas indispensable d'effectuer le division de 3n²+15n+19 par n+2 : On sait qu'il doit être divisible par aussi par n+1 , ce qui ne se produit que pour deux valeurs de n. Il suffit donc de vérifier si pour ces valeurs-là 3n²+15n+19 est ou n'est pas divisible par n+2 ( ou si on préfère directement par n²+3n+2 ).
Mais J'ai conseillé la division par n+2 car on obtient ainsi un meilleur renseignement : 3n²+15n+19 n'est jamais divisible par n+2.

Je crois avoir compris votre raisonnement. Merci encore

De rien.
Au plaisir.