exercice de spécialité sur la divisibilité


  • S

    Bonsoir!
    J'ai un petit problème avec un exo de spécialité sur la divisibilité, ce n'est pas un devoir à rendre sur feuille, ni un exercice donné par le prof, mais juste un exo que j'ai choisi de faire pour essayer de progresser un peu.
    Voici l'énoncé :
    1/ Pour tout entier naturel n, démontrer que n²+5n+4 et n²+3n+2 sont divisibles par n+1.
    2/ Déterminer les valeurs de n pour lesquelles 3n²+15n+19 est divisible par n+1.
    3/ Existe-t-il des entiers naturels n pour lesquels 3n²+15n+19 est divisible par n²+3n+2 ?

    Ce que j'ai trouvé :
    1/ n²+5n+4=n²+2n+1+3n+3 = (n+1)² + 3(n+1)
    n²+3n+2 = n² +2n +1 +n +1 = (n+1)² +n+1

    2/ 3n²+15n+19 = 3(n²+5n + 4) +7
    On suppose que n+1 divise 3n²+15n+19, donc n+1 divise 3(n²+5n + 4) +7
    Il faut que n+1 divise 7, or les seuls diviseurs de 7 sont 1 et 7, donc n+1=1 ou n+1=7, donc n=0 ou n=6.

    3/ C'est là où je bloque. J'ai pensé à utiliser une combinaison entière, mais je crois que ça ne marche pas. Est-ce que quelqu'un pourriat m'aider, je lui serais très reconnaissante.

    Merci d'avance.


  • M

    Bonjour,
    n²+3n+2 = (n+1)(n+2)
    Donc pour que 3n²+15n+19 soit divisible par n²+3n+2, il doit être divisible par n+1 ( vu plus haut ) et par n+2.
    Effectue la division euclidienne de 3n²+15n+19 par n+2 : quel est le reste ?


  • S

    J'ai compris! Le reste est 1 pour tout entier naturel n, donc 3n²+15n+19 n'est pas divisible par n²+3n+2. Merci beaucoup de m'avoir aidée. 🙂
    Mais si on n'avait pas pensé à la factorisation de n²+3n+2 par n+1? On doit donc deviner?


  • M

    La factorisation a déjà été effectuée :
    Citation
    n²+3n+2 = n² +2n +1 +n +1 = (n+1)² +n+1Il suffit de l'achever :
    n²+3n+2 = (n+1)[(n+1)+1] = (n+1)(n+2)

    Il n'est pas indispensable d'effectuer le division de 3n²+15n+19 par n+2 : On sait qu'il doit être divisible par aussi par n+1 , ce qui ne se produit que pour deux valeurs de n. Il suffit donc de vérifier si pour ces valeurs-là 3n²+15n+19 est ou n'est pas divisible par n+2 ( ou si on préfère directement par n²+3n+2 ).
    Mais J'ai conseillé la division par n+2 car on obtient ainsi un meilleur renseignement : 3n²+15n+19 n'est jamais divisible par n+2.


  • S

    Je crois avoir compris votre raisonnement. Merci encore 🙂


  • M

    De rien.
    Au plaisir.


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