Montrer qu'une fonction logarithme népérien est strictement croissante

Bonjour,
j'ai un devoir de maths vacance a faire et j'ai essayer de commencer mais je n'y arrive pas

L'exercice est :
Une étude a permis de modéliser les quantités d'un produit ( en milliers d'unités ) mis sur le marché, par la fonction d'offre , g définie sur [ 1 ; 22 ] par :
g(p) = 0,3 p + 1 , p désignant le prix unitaire en euros.
La fonction de demande des consommateurs est modélisée par la fonction f définie sur [ 1 ; 22 ] par :
f(p) = -0,4 p + 5 + ln (2p+6)
représente les quantités de produit (en milliers) que les consommateurs sont prêts à acheter pour un prix unitaire p.

Question 1 : Montrer que la fonction g-f est une fonction strictement croissante sur [ 1;22]

Pour y répondre , j'ai essayer en commençant par :
(0,3p + 1) - 0,4p +5 + ln (2p+6)
0,7p-4+ln(2p+6)
0,7p-4+ln2p*ln6
0,7-2,24+ln2p

Es ce que ce début est bon svp ?

Bonsoir,

Un oubli du moins et des parenthèses :
g(p) - f(p) = (0,3p + 1) - (-0,4p +5 + ln (2p+6))
= ...

calcule ensuite la dérivée

Remarque :
ln (a+b) n'est pas égal à lna * lnb

D'accord merci
alors : g(p) - f(p) = (0,3p + 1) - (-0,4p +5 + ln (2p+6))
g'(p) - f'(p) = 0,3 p - 0,4p + ln 2p + ln 6
= 0,7 p + 1/2p + 1/6

Désolé si c'est pas sa, dans mes exos et dans le cour j'ai aucun exo du genre , et en plus je suis loin d'etre bonne en math

A partir de :
g(p) - f(p) = (0,3p + 1) - (-0,4p +5 + ln (2p+6))
Simplifie en supprimant les parenthèses (sauf pour ln(2p+6) que l'on ne peut pas simplifier)
g(p) - f(p) = .....

g(p) - g(f) = 0,3p - 1 + 0,4p - 5 - ln(2p+6)
= 0,7 p + 6 - ln (2p+6)

c'est bon la ?
désolé si je t'embete avec mes fautes .

Une erreur de signes
g(p) - f(p) = (0,3p + 1) - (-0,4p +5 + ln (2p+6))
= 0,3p + 1 + 0,4p - 5 - ln(2p+6)
= 0,7p - 4 - ln(2p+6)

Calcule la dérivée de cette expression.

g(p) - f(p) = (0,3p + 1) - (-0,4p +5 + ln (2p+6))
= 0,3p + 1 + 0,4p - 5 - ln(2p+6)
= 0,7p - 4 - ln(2p+6)

g'(p) - f'(p) = p - 1/2p+6

( pour le 0,7 p je c pas dutout )

g'(p) - f'(p) = 0,7 - 2/(2p+6)

Simplifie et réduis au même dénominateur.

désolé si je prend un peu de temps a rep j'essaie de le faire sur une feuille a coter .

J'ai trouver :: 0,7 - 2 / (2p+6)
= (2p+6+0,7/2p+6) - (2/2p+6)
= 2p+6,7-2 / 2p+6
= 2p + 4,7 / 2p +6
= 4,7 / 6

Simplifie d'abord :
g'(p) - f'(p) = 0,7 - 2/(2p+6)
= 0,7 - 1/(p+3)
On réduis au même dénominateur
= [0,7(p+3) - 1]/(p+3)

Simplifie le numérateur

= [0,7(p+3) - 1]/(p+3)
= 0,7 p + 0,7 * 3 - 1 / (p+3 )
= 0,7 p + 2,1 -1 / (p+3)
= 0,7p + +1,1 / p+3

Oui

(0,7p +1,1) / (p+3)

Quel est le signe de cette expression si p ≥ 1 ?

Si p ≥ 1

0,7* 1 + 1,1 / (1 +3 )
= 1,8 / 4
= 0, 45

donc positif

Si p ≥ 1
(0,7p +1,1) ≥ ....
(p+3) ≥ ....
et

(0,7p +1,1) / (p+3) .....

Si p ≥ 1
(0,7p +1,1) ≥ 1
(p+3) ≥ 1

(0,7p +1,1) / (p+3) est croissant sur [ 1; 22 ]

Oui

car (0,7p +1,1) / (p+3)≥0

merci beaucoup de ton aide_
et dit moi il faut pas faire un tableau de signe ?

Dans cet exercice, ce n'est pas nécessaire.

d'accord merci de ton aide, grace a toi j'ai compris je crois alors qu'en cour je suis carément a la ramasse .
dit je vais essayer de finir cet exo , j'ai encore 2 questions si je n'y arrive pas je pourrais te demander ton aide stp

Oui,

Tu peux poser tes questions et proposer tes éléments de réponse.

Re , le deuxième question de cet exo est : en déduire qu'il existe sur l'intervalle [1;22] un unique prix d'équilibre Po.

Je sais pas du tout comment je dois faire , tu peux m'indiquer et j'essaierais si sa te dérange pas.

Construis le tableau de variation de la fonction g-f et montre qu'elle passe par 0 en un seul point.

Tableau de variation :

g(p)-f(p) 0 22
g'(p)-f'(p) +

g'(p) - f'(p) ( une flèche croissante)

Calcule les valeurs limites en 1 et 22.

Lim f(p) - g(p) = 0,7 p + 1/2p + 1/6
x→1 = + infini

Lim f(p) - g(p) = 0,7 p + 1/2p + 1/6
x→22 = - infini

Désolé j'ai essayer de faire selon un exemple d'exo , mais les limites c'est le trux que j'arrive pas du tout

Il suffit de remplacer p par 1,
puis p par 22

Refais les calculs.

oki alors :
Lim f(p) - g(p) = 0,7 p + 1/2p + 1/6
x→1 = 0,7 1 + 1/ 21 +1/6
= 0,7 + 0,5 + 0,17
=1,37

ou = 4,2/6 + 3/6 + 1/6
= 8,2/6

et

Lim f(p) - g(p) = 0,7 p + 1/2p + 1/6
x→22 = 0,7 * 22 + 1/2*22 + 1/6
= 15,4 + 11 + 1/6
= 26,57
ou
= 92,4/6 + 66 / 6 + 1/6
= 159,4/66

Jspr que c'est bon , et si c'est le cas qu'elle écriture est préférable que je garde stp

Attention :

g(p) - f(p) = 0,7p - 4 - ln(2p+6)

Donc
g(1) - f(1) = ....

g(p) - f (p) = 0,7 * 1 - 4 - ln (2*1 + 6)
= 0,7 - 4 - ln 8
= -3,3 - ln 8

et la deuxième limite aussi n'est pas bonne aussi alors c'est sa ?
au passage joyeux noel

Bonjour ,
Es que quelqu'un pourrait m'aider a finir mon exercice svp

Calcule g(22) - f(22)

g(22) - f (22) = 0,7 p + 22/2p + 22/6
= 0,7 + 66/6p + 22/6p
= 0,7 + 66 + 22 / 6p
= 0,7 + 88 / 6p

g(p) - f(p) = 0,7p - 4 - ln(2p+6)

Remplace p par 22
g(22) - f(22) = .....

g(p) * f(p) = 0,7 * 22 - 4 - ln (2*22+6)
= 15,4-4-ln(44+6)
= 11,4 - ln 50

C'est correct.

mercii_ et apres sa je dois faire quoi ? stp

g(p) - f (p) = 0,7 * 1 - 4 - ln (2*1 + 6)
= 0,7 - 4 - ln 8
= -3,3 - ln 8

dit sa es ce que c'est bon ?
sa c'est la limite de g'(p) - f'(p) en 0 c -3,3 - ln8 et en 22 c 11,4 - ln 50 ?

mais la deuxieme question c'était en déduire qu'il existe sur l'intervalle [1;22] un unique prix d'équilibre Po.
quel est ce priix , enfin comment je le trouve stp

Donc la fonction varie sur quel intervalle si x varie sur [1 ; 22] ?

donc la fonction varie sur [- 3,3 - ln 8 ; 11,4 - ln 50 ]

Donc la fonction passe une seule fois par 0.