La somme des astuces



  • Bonjour à tous,
    Je bloque sur l'exercice suivant :
    Pour tout x∈]0,π]; on pose:
    S=cosx+cos2x+...+cosnx
    S'=sinx+sin2x+...+sinnx
    1-Exprimer S+iS' en fonction de z=eixz=e^{ix}
    2-En déduire alors la valeur de S et de S'

    Voila à quoi j'ai pensé pour la première question:
    z=(ez=(e^{ix}))^{nx}$=e^{inx²}$
    Mais cela me semble un peu bizarre et je ne vois pas ensuite comment répondre à la question 2 ...
    Merci d'avance pour votre aide et bonnes fêtes à tous !



  • bonjour Meide,

    S+iS' = cosx+cos2x+...+cosnx + i(sinx+sin2x+...+sinnx)
    S+iS' = (cosx + i sinx) + (cos2x + i sin2x) + ...

    or z = eixe^{ix}= cosx + i sinx
    z² = e2ixe^{2ix}= cos2x + i sin2x
    etc ...



  • Donc si j'ai bien compris:
    S+iS'= z+z2z+z^2+...+zn+z^n= ee^{ix}+ei2x+e^{i2x}+...+einx+e^{inx}
    Est ce qu'il y a une façon plus succincte de l'écrire ou est ce la bonne forme ?



  • S+iS' = z + z2z^2 + ... + znz^n

    Oui, la forme est bonne.

    donc, maintenant, par rapport au nombre complexe " z + z2z^2 + ... + znz^n " que représente S et que représente S' ?



  • S représente la partie réel et S' la parti imaginaire
    donc :
    S= (z+z²+..+zn+z^n)-iS'
    et S'= ((z+z²+..+zn+z^n)-S)/i



  • Citation
    S représente la partie réel et S' la parti imaginaire
    Oui

    Il faut donc exprimer le complexe z + z2z^2 + ... + znz^n de façon plus sympathique.

    Trouve une suite simple qui te permette de réduire cette somme à l'aide des formules vues en 1ère (suite arithmétique et géométrique).



  • z+z²+...+zn+z^n = z×((1zn((1-z^n)÷(1-z))
    C'est la somme des termes d'une suite géométrique c'est bien sa ?



  • Tout à fait

    z+z2+...+zn=zzn+11z=(cosx+isinx)[cos((n+1)x)+isin((n+1)x)]1(cosx+isinx)z+z^2+...+z^n = \frac{z-z^{n+1}}{1-z}= \frac{(cosx + i sinx)-[cos((n+1)x)+isin((n+1)x)]}{1-(cosx + i sinx)}

    S sera donc la partie réelle de cette abomination, S' sa partie imaginaire.

    S et S' sont à simplifier au maximum à l'aide des relations trigo ... une dizaine de pages de calculs 😉

    tout d'abord, méthode du conjugué pour le dénominateur



  • Bon j'obtiens un truc assez énorme ....
    Je sépare le nominateur du dénominateur :

    Nominateur : isin(x) +cos(x) +cos²(x) -sin²(x) +isin(2x) -cos(nx+x) -isin(nx+x) -cos(x)cos(nx+x) -icos(x)sin(nx+x) -isin(x)cos(nx+x) + sin(x)sin(nx+x)

    Dénominateur: isin(2x)+2sin²(x)

    C'est assez perturbant tous sa ...



  • Au dénominateur, tu ne dois plus avoir de "i"

    si on appelle d le dénominateur

    d = (1-cosx) - i.sinx

    tu multiplies en haut et en bas par le conjugué de d, c'est à dire par (1-cosx) + i.sinx



  • Je quitte pour un long moment prblt (fêtes en famille ...)

    Essaie d'extraire et de simplifier au mieux la partie réelle et la partie imaginaire.

    C'est assez indigeste comme calcul.

    Il y a peut-être une autre façon de faire, mais je ne vois pas.
    Pour le dénominateur, tu tomberas vite sur d=2(1-cosx) sauf erreur de ma part

    Testes ton résultat avec 2-3 valeurs de x et 2-4 valeurs de n pour t'assurer que c'est correct.

    à+ et bonnes fêtes !


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