La somme des astuces

Bonjour à tous,
Je bloque sur l'exercice suivant :
Pour tout x∈]0,π]; on pose:
S=cosx+cos2x+...+cosnx
S'=sinx+sin2x+...+sinnx
1-Exprimer S+iS' en fonction de $z=e^{ix}$
2-En déduire alors la valeur de S et de S'

Voila à quoi j'ai pensé pour la première question:
$z = (e$ ^{ix} $)$ ^{nx} $e^{inx²}$
Mais cela me semble un peu bizarre et je ne vois pas ensuite comment répondre à la question 2 ...
Merci d'avance pour votre aide et bonnes fêtes à tous !

bonjour Meide,

S+iS' = cosx+cos2x+...+cosnx + i(sinx+sin2x+...+sinnx)
S+iS' = (cosx + i sinx) + (cos2x + i sin2x) + ...

or z = $e^{ix}$ = cosx + i sinx
z² = $e^{2ix}$ = cos2x + i sin2x
etc ...

Donc si j'ai bien compris:
S+iS'= $z+z^2$ +... $z^n$ = $e$ ^{ix} $e^{i2x}$ +... $e^{inx}$
Est ce qu'il y a une façon plus succincte de l'écrire ou est ce la bonne forme ?

S+iS' = z + $z^2$ + ... + $z^n$

Oui, la forme est bonne.

donc, maintenant, par rapport au nombre complexe " z + $z^2$ + ... + $z^n$ " que représente S et que représente S' ?

S représente la partie réel et S' la parti imaginaire
donc :
S= (z+z²+.. $z^n$ )-iS'
et S'= ((z+z²+.. $z^n$ )-S)/i

Citation
S représente la partie réel et S' la parti imaginaire
Oui

Il faut donc exprimer le complexe z + $z^2$ + ... + $z^n$ de façon plus sympathique.

Trouve une suite simple qui te permette de réduire cette somme à l'aide des formules vues en 1ère (suite arithmétique et géométrique).

z+z²+... $z^n$ = z× $1-z^n$ )÷(1-z))
C'est la somme des termes d'une suite géométrique c'est bien sa ?

Tout à fait

$z+z2+...+zn=z−zn+11−z=(cosx+isinx)−[cos((n+1)x)+isin((n+1)x)]1−(cosx+isinx)z+z^2+...+z^n = \frac{z-z^{n+1}}{1-z}= \frac{(cosx + i sinx)-[cos((n+1)x)+isin((n+1)x)]}{1-(cosx + i sinx)}$

S sera donc la partie réelle de cette abomination, S' sa partie imaginaire.

S et S' sont à simplifier au maximum à l'aide des relations trigo ... une dizaine de pages de calculs

tout d'abord, méthode du conjugué pour le dénominateur

Bon j'obtiens un truc assez énorme ....
Je sépare le nominateur du dénominateur :

Nominateur : isin(x) +cos(x) +cos²(x) -sin²(x) +isin(2x) -cos(nx+x) -isin(nx+x) -cos(x)cos(nx+x) -icos(x)sin(nx+x) -isin(x)cos(nx+x) + sin(x)sin(nx+x)

Dénominateur: isin(2x)+2sin²(x)

C'est assez perturbant tous sa ...

Au dénominateur, tu ne dois plus avoir de "i"

si on appelle d le dénominateur

d = (1-cosx) - i.sinx

tu multiplies en haut et en bas par le conjugué de d, c'est à dire par (1-cosx) + i.sinx

Je quitte pour un long moment prblt (fêtes en famille ...)

Essaie d'extraire et de simplifier au mieux la partie réelle et la partie imaginaire.

C'est assez indigeste comme calcul.

Il y a peut-être une autre façon de faire, mais je ne vois pas.
Pour le dénominateur, tu tomberas vite sur d=2(1-cosx) sauf erreur de ma part

Testes ton résultat avec 2-3 valeurs de x et 2-4 valeurs de n pour t'assurer que c'est correct.

à+ et bonnes fêtes !