DM sur les fonctions polynômes



  • Bonsoir, je suis actuellement en 1ère S et j'ai un devoir maison à rendre pour le lundi 3 janvier. Cela fait plusieurs jours que je sèche devant certains exercices de mon DM.

    Alors il y a un exercice Vrai/Faux où il faut démontrer si c'est vrai ou donner un contre-exemple si c'est faux. Celle que j'arrive pas à démontrer c'est:
    "La fonction polynôme P définie par P(x)= x^5 + x^4 +7x + 1 n'a pas de racines positives."

    Après y a deux autres exos que j'arrive pas.

    Exercice 1
    Démontrer que la fonction polynôme définie par P(x)= x³ +x - 1 possède une racine réelle alpha A ∈ [0;1]. (Il n'est pas demandé de la calculer).

    Un ami m'a indiqué que l'on devait utilisé la formule "une fonction polynôme du troisième degré peut se factoriser par (x-1)(une fonction polynôme du 2nd dégré)".

    Exercice 2
    On considère les fonctions f et g définies sur R par f(x)= x³ et g(x)= x² +x -1. On note Cf et Cg leurs représentations graphiques respectives. Calculer les coordonnées des points d'intersection de Cf et de Cg.

    J'ai d'autres exercices que je n'arrive pas à résoudre, mais si j'avais des pistes pour ceux citer ci-dessus, ce serait déjà pas mal !!



  • Bonjour,
    Pour commencer, quelle méthode as-tu utilisée pour la question à laquelle tu sais répondre ?

    Citation
    Un ami m'a indiqué que l'on devait utilisé la formule "une fonction polynôme du troisième degré peut se factoriser par (x-1)(une fonction polynôme du 2nd dégré)".Cela est faux : ce serait vrai uniquement si 1 était une racine, et on vérifie aisément que ce n'est pas le cas.
    Pense plutôt aux variations de la fonction sur [0 ; 1 ]



  • Bonsoir,
    J'ai réussi à résoudre le vrai ou faux et l’exercice 1. Effectivement, il fallait utilisé le tableau de variation de la fonction cube. Merci mathtous mais hélas je n'ai pas réussi à résoudre l'exercice 2. Et aussi j'ai un autre exercice non résolu à vous donner.

    Par contre, j'ai une piste pour l'exercice 2.
    f(x)=g(x) ⇔f(x) - g(x)
    ⇔x³ - (x² +x -1)
    ⇔ x³ -x² -x +1
    ⇔ (x - 1) (x² - 1)
    Mais ça ne marche pas parce que les solut° seraient donc x= 1 or graphiquement je trouve deux solutions x= -1 et x≈ 0,08.
    Exercice 6
    On considère la fonction polynôme P définie par: P(x)=x³ -5x² +3x +1.
    On notre A, B et C ses racines (elles existent !).

    1. Ecrire en fonction de A, B et C la forme (totalement) factorisée de P(x).
    2. Montrer que A +B +C =5, AB +BC +CA =3 et ABC =-1.
    3. Sachant que A= 2√5 et B=1, calculer (simplement) la troisième racine C.

    J'ai trouvé pour la 1. (x -A)(x -B)(x -C). Après je ne trouve pas...



  • Bonjour,
    Citation
    f(x)=g(x) ⇔f(x) - g(x)
    ⇔x³ - (x² +x -1)
    ⇔ x³ -x² -x +1
    ⇔ (x - 1) (x² - 1)Il manque "=0"
    On peut continuer la factorisation : x²-1 = (x-1)(x+1)
    Donc : (x-1)(x-1)(x+1) = 0
    Ce qui donne x = 1 ( racine double ), ou x = -1.

    Je ne vois pas d'où vient ton 0,08 : les deux courbes sont tangentes ( elles admettent le même tangente ) au point (1,1), et elles sont simplement sécantes au point (-1,-1). Revois le tracé de tes courbes.

    Pour l'exercice 6 : développe et ordonne (x-A)(x-B)(x-C).
    (x-A)(x-B)(x-C) = (x² -Ax - Bx + AB)(x -C) = ... continue



  • Effectivement, je n'avais sans doute pas bien vu sur ma calculette le graphique.

    Pour l'exercice 6:
    (x-A)(x-B)(x-C) = (x²-Ax-Bx+AB)(x-C)
    = x³-Ax²-Bx²+ABx-Cx²+ACx+CBx-ABC
    = x³+(-A-B-C)x²+(AB+AC+CB)x-ABC
    = x³-(A+B+C)x²+(AB+AC+CB)x-ABC
    Or P(x)= x³-5x²+3x+1

    Donc A+B+C=5
    AB+AC+CB=3
    ABC=-1.

    Merci de m'avoir donné la bonne méthode, Mahtous !

    *Si je reprends la formule A+B+C=5
    Avec A= 2-√5 et B=1
    2-√5+1+C=5 ⇔2-√5+1-5=-C
    ⇔2-√5-4=-C
    ⇔-2-√5=-C
    ⇔C= 2+√5
    *Si je prends la formule ABC=-1
    ABC=-1 ⇔ 2-√5×1×C=-1
    ⇔2-√5C=-1
    ⇔C= -1÷2-√5
    ⇔C= (-2-√5)÷(2-√5)(2+√5)
    ⇔C= (-2-√5)÷-1
    ⇔C= 2+√5
    *Si je prends la formule AB+AC+BC=3
    AB+AC+CB=3⇔ (2-√5)×1+(2-√5)C+C×1=3
    ⇔(2-√5)+(2-√5)C+C=3
    ⇔ (2-√5)-3+[(2-√5)+1]C=0
    ⇔ -1-√5=(-3+√5)C
    ⇔1+√5=(3-√5)C
    ⇔(1+√5)÷(3-√5)=C
    ⇔(8+4√5)÷4=C (J'ai multiplié le num et le den par 3+√5)
    ⇔2+√5=C

    Merci pour tout ! 😄



  • Bon travail.
    Il manque juste une ou deux parenthèses dans le 3)
    On te demande juste de calculer simplement C : le premier calcul est le plus simple, le dernier le moins simple.
    Tu peux te contenter de donner le premier.
    Mais je trouve dommage qu'on te fournisse deux racines : il suffisait de te dire qu'il y avait une racine "évidente" : tu aurais trouvé 1.
    Ensuite, tu aurais obtenu les deux autres racines en mettant (x-1) en facteur.
    Sinon, le but est de te montrer les liens entre les racines et les coefficients du polynôme.
    A+


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