les nombres complexes



  • Bonsoir! Est-ce que quelqu'un pourrait m'aider pour un exercice de géométrie sur les nombres complexes? Je n'ai pas compris la dernière question et je ne suis pas non plus sûre de ma réponse.
    Voici l'énoncé :

    Soit A le point d'affixe 4.
    On note d la droite d'équation x=4, privée du point A.
    A tout point M, différent dé A, d'affixe z, on associe le point M' d'affixe z', vérifiant :
    z'=(z-4)/(4-z(bar))
    1/a. Soit B le point d'affixe 1+3i . Calculer l'affixe du point B' associé au point B. Placer les points B et B' sur une figure.
    b. Soit x un nombre réel différent de 4. On note R le point d'affixe x. Calculer l'affixe du point R' associé au point R.
    Placer R' sur la figure.
    c. Soit y un nombre réel non nul.
    On note S le point de d d'afixe 4+iy
    Calculer l'affixe du point S' associé au point S. Placer S' sur la figure.
    d. Démontrer que :
    z'=1 si et seulement si M∈d.
    2/ Soit M un point n'appartenant pas à d. On se propose de déterminer une méthode de construction du point M' connaissant le point M.
    a. Démontrer que, pour tout nombre complexe z≠4 : |z'|=1.
    b. Démontrer que pour tout nombre complexe z≠4 : (z'-1)/(z-4) appartient à R.
    Montrer que la droite (S'M') est bien définie et parallèle à la droite (AM).
    c. Déduire, des questions 2/a et 2/b, une construction géométrique du point M' connaissant le pint M. Appliquer cette méthode à la construction du point C' associé au point C d'affixe 2+i.

    Mes réponses :
    1/a. B'(-1+i)
    b.R'(-1)
    c.S'(1)
    d. J'ai remplacé z' par 1, et pour la réciproque j'ai remplacé z par 4+iy. pour retrouver z'=1.
    2/a.J'ai posé z=x et j'ai trouvé z'=-1. et |-1|=1, donc |z'|=1.
    b. J'ai utilisé les propriétés de la conjugaison pour montrer que z'=1, j'ai ensuite remplacé et je trouve (z'-1)/(z-4)=o, donc c'est bien un réel.
    c. Alors, par intuition, j'ai dit que |(z'-1)/(z-4)|=1, et donc |z'-1|=|z-4|, c'est-à-dire S'M'=AM. C'est un parallélogramme. Je pense que M' décrit l'intersection de la paralléle à (AM) avec le cercle de centre O et de rayon 1. J'ai fait la figure mais ça m'a l'air faux. :frowning2:

    Merci d'avance, et bonnes fêtes!



  • Bonjour,
    Il me semble voir plusieurs erreurs.
    Il serait donc utile de reprendre les questions en les détaillant.

    1)a) Peux-tu me détailler le calcul de l'affixe de B' ?



  • Désolée, je me suis trompée pour la question 1/a.
    1/a. z'=(1+3i-4)/(4-(1-3i)) = (-3+3i)/(3+3i) = (-1+i)/(1+i) = [(-1+i)(1-i)]/2 = 2i/2 = i
    donc B'(i)
    b/ R(x) donc z=zbarre=x
    z'=(x-a)/(4-x)=(x-4)/[-(x-4)]=-1 donc R'(-1)
    c/ S apparient à (d) donc S est d'affixe 4+iy. z=4+iy et zbarre=4-iy
    z'=(4+iy-4)/[4-(4-iy)]=iy/iy=1 donc S'(1)
    d/ Je suppose que z'=1 et je vais démontrer que x=4.
    1=(z-4)/(4-zbarre)
    z-4=4-zbarre
    Je pose z=x+iy et zbarre=x-iy
    x+iy-4=4-(x-iy)
    x-4=4-x
    2x=8
    x=4
    donc M appartient à d)
    Récipoquement, je suppose que M appartient à (d), donc M est d'affixe z=4+iy.
    z'=(4+iy-4)/[4-(4-iy)]=iy/iy=1 z'=1

    2/a. je pose z=x, x diffèrent de 4.
    z'=(z-4)/(4-zbarre)=(x-4)/(4-x)=(x-4)/[-(x-4)]=-1
    |z'|=|-1|=1
    b/ z=x
    (z'-1)/(z-4)=(1-1)/(x-4)=0 car z'=1
    |z'|²=z'z'barre donc z'=(z'barre)/|z'|²=1/1²=1 donc z'=1
    Je n'ai pas réussi à démontrer que les droites sont parallèles.
    c/ Au fait, en refaisant le calcul de B', je crois que M' est le point d'intersection du cercle de centre O et de rayon 1 avec la parallèle à (AM) menée de S'. J'ai eu tort de dire que M'S'AM est un parallélogramme et le calcul que j'ai fait par intuition est faux.



  • 1)a)b)c) sont justes.

    1)d)
    Citation
    x=4
    donc M appartient à d)A condition que y ≠ 0 ( z ≠ 4 selon l'énoncé )
    La réciproque : le calcul a déjà été effectué : le dire mais inutile de le refaire.

    2)a) le raisonnement est faux : tu supposes que z est réel et ce n'est pas du tout obligatoire.
    Calcule |z'|² = z'.z'barre à partir d'un z quelconque ( z≠4 uniquement à cause du dénominateur ).

    Pour 2)b) c'est incompréhensible. Tu supposes que z' = 1 ? et tu arrives à z' = 1 !!
    Ce n'est pas la question posée : z ( et donc aussi z' ) sont quelconques.
    Calcule z' - 1 puis (z'-1)/(z-4).

    Les questions 2)a) et 2)b) sont indépendantes.

    Pour la question 3)c), c'est bien cela, mais pour le justifier il faut d'abord répondre correctement aux questions 2)a) et 2)b).



  • Bonsoir! Je vous remercie de votre réponse.
    J'ai refait suivant vos indications :
    2/a. |z'|²=z'z'barre=[(z-4)(zbarre-4)]/[(4-zbarre)4-z)]= 1/1=1
    |z'|²=1 donc nécessairement |z'|=1

    J'ai trouvé aussi une autre méthode :
    Comme |zbarre|=|z|, alors |z-4|=|(z-4)barre|
    |z-4|=|zbarre-4| et |z-4|/|zbarre-4|=1
    or |zbarre-4|=|-(zbarre-4)|=|-zbarre +4|
    on a donc |z-4|/|4-zbarre|=1
    |(z-4)/(zbarre-4)|=1
    Comment z'=(z-4)/(4-zbarre), alors |z'|=1
    Certes un peu long, mais c'est amusant.

    Pour la question 2/b.
    z'-1=(z-4)/(4-zbarre)-1 = (z+zbarre-8)/(4-zbarre) = (2Re(z)-8)/(4-zbarre)
    (z'-1)/(4-zbarre)=(2Re(z)-8)/(z-4)(4-zbarre) = (2Re(z)-8)/(8Re(z)-16-|z'|²)
    C'est un réel car Re(z) est la partie réelle du complexe z, qui est donc réelle, et |z'|² est aussi un réel car si on pose z'=x+iy, alors |z'|²=x²+y², x et y étant des réels.
    donc (z'-1)/(z-4) est un réel. Mais, je ne vois toujours pas le rapport avec les droites parallèles. J'espère que cette question n'a rien à voir avec la forme trigonométrique des nombres complexes?



  • Bonjour,
    Ce que tu as fait me paraît correct.
    |z'| = 1 donc M' est sur le cercle de centre O et de rayon 1.

    (z'-1)/(z-4) est réel : cela signifie que son argument vaut 0 modulo π.
    Or l'argument d'un quotient est la différence des arguments.
    Donc arg(z'-1) - arg(z-4) = kπ , k étant un entier relatif.
    Mais z'-1 est représenté par le vecteur S'M', et z-4 par le vecteur AM,
    donc (S'M' , AM) = kπ : cela signifie que les droites (S'M') et (AM) sont parallèles ( ou confondues ).



  • Je crois que j'ai compris pour la démonstration des droites. Merci beaucoup de m'avoir aidée. 🙂



  • De rien.
    A+


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