3. [DM] Barycentre de n points n > 2

[DM] Barycentre de n points n > 2

  • R

    Mon énoncé :
    ABC est un triangle.
    Construisez le barycentre G de (A,α),(B,β),(C,γ) dans chacun des cas suivants :

    1. α=3, β=-1, γ=-1
    2. α=1/3, β=-1/2, γ=5/6
    3. α=-3, β=2, γ=5
    4. α=1/3, β=1/6, γ=1/2

    Mes réponses :

    On vérifie pour chacun que α+β+γ≠0, pour connaitre l'existence d'un barycentre G,

    Je n'ai fait que la figure du 1, car je veux être sur du reste pour les faire :

    **1.**Ici, on a 3+(-1)+(-1)=1 qui est ≠ 0, donc il existe un barycentre G.

    On cherche le barycentre G de (A;3)(B;-1)(C;-1).
    MG = 3MA-MB-MC
    Etant donné que c’est bon pour tout point M, c’est également vrai si M = A
    Alors on remplace M par A,
    AG = 3AA-AB-AC
    Le vecteur AA étant nul AG = -AB-AC = BA + CA

    On pose I milieu du segment [BC], afin que l’on puisse calculer le barycentre de 2 points.
    Soit maintenant, G barycentre de (A;3)(I;-2).
    Soit α=3 et β=-2
    AG = β/(β+α)AI = (-2)/1 AI = -2AI

    Donc on en déduit cette figure :

    http://nsa20.casimages.com/img/2010/12/27/101227082141434873.png

    **2.**Ici, on a 1/3+(-1/2)+(5/6)=4/6 qui est ≠ 0, donc il existe un barycentre G.

    On cherche le barycentre G de (A;1/3)(B;-1/2)(C;5/6).
    MG = 1/3MA+1/2MB-5/6MC
    Etant donné que c’est bon pour tout point M, c’est également vrai si M = A
    Alors on remplace M par A,
    AG = 1/3AA+1/2AB-5/6AC
    Le vecteur AA étant nul AG = 1/2AB-5/6AC
    On pose I milieu du segment [BC], afin que l’on puisse calculer le barycentre de 2 points.
    Soit maintenant, G barycentre de (A;1/3)(I;4/3).
    Soit α=1/3 et β=4/3
    AG = β/(β+α)AI = (4/3)/(5/3)AI = 4/5AI

    **3.**Ici, on a -3+2+5=4 qui est ≠ 0, donc il existe un barycentre G.

    On cherche le barycentre G de (A;-3)(B;2)(C;5).
    MG = -3MA-2MB-5MC
    Etant donné que c’est bon pour tout point M, c’est également vrai si M = A
    Alors on remplace M par A,
    AG = -3AA-2AB-5AC
    Le vecteur AA étant nul AG = -2AB-5AC
    On pose I milieu du segment [BC], afin que l’on puisse calculer le barycentre de 2 points.
    Soit maintenant, G barycentre de (A;-3)(I;7).
    Soit α=-3 et β=7
    AG = β/(β+α)AI = (7)/(7+(-3)AI = 7/4 AI

    **4.**Ici, on a (1/3)+(1/6)+(1/2)=6/6=1 qui est ≠ 0, donc il existe un barycentre G.

    On cherche le barycentre G de (A;1/3)(B;1/6)(C;1/2).
    MG = 1/3MA-1/6MB-1/2MC
    Etant donné que c’est bon pour tout point M, c’est également vrai si M = A
    Alors on remplace M par A,
    AG = 1/3AA-1/6AB-1/2AC
    Le vecteur AA étant nul AG = -1/6AB-1/2AC
    On pose I milieu du segment [BC], afin que l’on puisse calculer le barycentre de 2 points.
    Soit maintenant, G barycentre de (A;-1/3)(I;2/3).
    Soit α=-3 et β=2/3
    AG = β/(β+α)AI = (2/3)/(2/3+(-3)AI = -2/7 AI

    Merci d'avance

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